作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [微积] 极限计算
时间Thu Feb 3 21:57:19 2011
※ 引述《raymond168 (raymond168)》之铭言：
: 标题: [微积] 极限计算
: 时间: Thu Feb 3 15:23:28 2011
:
: 题目如下:
:
: Show that (1+x)^(1/x)=e．(1-x/2+(11x^2)/24+o(x^2)) as x→0.
:
:
: 请教板上各位高手
:
: 这题该如何解?
:
: 谢谢!
:
: --
:
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: ◆ From: 59.104.109.45
: → a88241050 :o(x^2)是啥 02/03 15:26
: 推 xxyyzzz :剩余的平方项函数吧 02/03 15:33
: → a88241050 :e=e 02/03 15:35
: 我把原本的题目PO上来，网址如下:
: http://ppt.cc/nmzt
: ※ 编辑: raymond168 来自: 59.104.109.45 (02/03 15:41)
: → Vulpix :就只是要做(1+x)^(1/x)在x=0的泰勒展开 02/03 15:55
: 所以，意思是说
:
: f(x)=(1+x)^(1/x)在x=a的泰勒展开为
:
: f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)^2/2!+...
:
: a→0 as x→0
:
: f(x)=lim {f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)^2/2!+...}
: a→0
:
: 这个意思吗?
应该说
f(x) = (1+x)^(1/x) , x>-1 但不是 0
e , x=0
然後把这个函数在 x=0 泰勒展开至二阶，得到一个二次多项式 P(x)
最後还要确认 (f(x) - P(x))/x^2 →0 当 x→0 （这就是那个 o(x^2) 的意思）
至於计算泰勒展开的方法还是得照定义来的
f'(0) = lim (f(x)-f(0))/x = lim ( (1+x)^(1/x) -e )/x = ...
x→0 x→0
f"(0) = lim (f'(x)-f'(0))/x = ...
x→0
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