作者moon2519 (~X~X~)
看板Math
标题Re: [线代] 一题关於对称矩阵证明
时间Fri Feb 4 20:26:13 2011
※ 引述《hcl012 (怪龙-卡西欧鲁)》之铭言：
: 一个对称矩阵Ｍ有eigenvector u_i 和 eigenvalue λ_i
: 也就是说 Ｍ * u_i = λ_i * u_i
: Ｄ T
: 题目是证明 Ｍ = Σ λ_i * u_i * u_i
: i=1
: D是矩阵Ｍ内的行数
: T
: 因为Ｍ是对称矩阵的关系，所以u_i * u_i是单位矩阵
: 所以我们可以得到
: T
: Ｍ * u_i = λ_i * u_i = λ_i * u_i * u_i * u_i
: 然後把两边的u_i去掉
: T
: Ｍ = λ_i * u_i * u_i
: 问题主要是在於右边的Σ是怎麽出现的呢?
: Ｄ t
: 照这样推导的话Σ λ_i * u_i * u_i应该是等於D*Ｍ才对
: i=1
: 是我的推导哪里出了问题了吗?
: 如果我的证法有误的话，正确的证法是如何呢?
因为M为一个对称矩阵(且内部元素均为实数)
By Schur定理 可以找到一个 正交矩阵(orthogonal matrix)
P = [u1*,u2*,...,uD*] 为一行向量 单范正交(orthonormal) 之矩阵
{ 其中 ui* 为调整过後的u_i ,目的为满足单范正交! }
使得 M = P D P' ( P':= P 的转置矩阵 )
( D := 对角矩阵(diagonal matrix) 且d_ii依u_i而定 )
所以 M = [u1*,...,uD*] D [u1*,...,uD*]'
= [P][λ_1u1*,...,λ_DuD*]'
(考虑各别元素 [M]ij := M 的 第 i 列 j 行之元素)
Ｄ
[M]ij = Σ [P]ik([λ_1u1*,...,λ_DuD*]')kj
k=1
Ｄ
= Σ [P]ik [λ_1u1*,...,λ_DuD*]jk
k=1
Ｄ
= Σ [λ_1u1*,...,λ_DuD*]jk [P']ki
k=1
Ｄ
= Σ [λ_1u1*,...,λ_DuD*]jk ([u1*,...,uD*]')ki
k=1
(note: M is symmetric => [M]ij=[M]ji )
Ｄ
M = [λ_1u1*,...,λ_DuD*] [u1*,...,uD*]' = Σλ_i u_i* (u_i*)'
i=1
Remark
我不太会打数学符号= =所以有错请见谅...
第一次在这PO文有错请鞭小力点...
※ 编辑: moon2519 来自: 203.222.21.28 (02/04 20:31)