※ 引述《jimmy780331 (lucky晓筑)》之铭言： : 关於 g(x)=e^(-x) , x属於[0,∞) 验证g为uni. continuity : 不知这样写可否 : let ε=1 ,δ>0 必存在r属於正整数 s.t. rδ^2 > 1-δ : let x=ln(rδ^2) y=ln(rδ) : x-y = ln(rδ^2)-ln(rδ) = lnδ < ln(e^δ) = δ : g(x)-g(y) = e^(-ln(rδ^2))-e^(-ln(rδ)) : =(1/rδ^2)-(1/rδ) : =(1-δ)/(rδ^2) < 1 : 所以g为uni. contin. : 这样论述是对的吗? : 但同样逻辑我却想不出下列三题 不对 要对任意ε given ε>0 since g'→0 as x→∞ choose M such that ∣g'(x)∣<ε if x>M for x>y >M choose δ= 1 if ︱x-y︱<δ then ∣g(x)-g(y)∣=∣x-y∣∣g'(z)∣for some x>z>y 均值定理 => ∣g(x)-g(y)∣=∣x-y∣∣g'(z)∣<ε hence g is uni cont on [M,∞) since g is cont on compact set [0,M+1] => g is uni cont on [0,M+1] thus g is uni cont on [0,∞) : 1. f(x)=xlogx if x属於(0,∞) : 0 if x=0 不是 f'=logx+1 递增无界 ε>∣f(x)-f(y)∣=∣x-y∣∣f'(z)∣→∞ contradiction : 2. g(x)=xsin(1/x) for x属於(0,1] 做法应该是choose δ 足够小 分成(0,δ] [δ/2,1]两个区间讨论 : 3. h(x)=sin(x^2) for x属於R 不是 一样看h' : 都是要判断是否为uniformly continuous : 谢谢指点 -- http://h2o1125.wordpress.com/ --

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