作者porkdie (Cho)
看板Math
标题Re: [中学] 请教一题竞赛题(数论)
时间Sun Feb 6 00:03:45 2011
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之铭言：
: 已知n为正整数，p为质数，且满足条件n|(p-1)与p|(n^3-1)，
: 试证:4p-3必为某整数的完全平方。
: 谢谢!
写写另一种方法:D
p|(n^3-1)
=> p|n-1 (-><-) or p|n^2+n+1
write ap = n^2+n+1 , where a in N
=> a(p-1)= n^2+n+(1-a)
=> p-1|n^2+n+(1-a)
∵ n|p-1
∴ n|n^2+n+(1-a)
=> n|1-a
=> n|a-1
if a≠1 ,
then n≦a-1 => a≧n+1
and we have n|p-1
=> n≦p-1 => p≧n+1
=> (n+1)^2 ≦ ap = n^2+n+1 (-><-)
so a = 1
then p = n^2+n+1
=> 4p-3 = 4n^2+4n+1 = (2n+1)^2 .
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◆ From: 114.46.64.70
1F：推 kevin092178 :人帅真好 05/25 15:41