作者Sfly (topos)
看板Math
标题Re: [中学] 请教一题竞赛题(数论)
时间Sun Feb 6 09:47:35 2011
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之铭言：
: 已知n为正整数，p为质数，且满足条件n|(p-1)与p|(n^3-1)，
: 试证:4p-3必为某整数的完全平方。
: 谢谢!
易证若 n|p-1 & p|n^2+n+1
则 k|p-1 & p|k^2-k+1 其中 p=1+nk.
If n<=k, then n< p^(1/2) => n^2+n+1 < p+p^(1/2)+1 < 2p
But p|n^2+n+1, so p=n^2+n+1.
If n>=k, then k< p^(1/2) => k^2-k+1 < p+1
Similarily, p=k^2-k+1
Thus, 1+nk=k^2-k+1 => n=k-1 => p=(n+1)^2-(n+1)+1 = n^2+n+1.
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 131.215.6.212