作者wyob (Go Dolphins)
看板Math
标题[代数] eigenvector
时间Wed Feb 9 22:01:37 2011
做考古题做到的ㄧ题，做几行就写完了感觉不太符合配分
所以想上来请教一下
1.Let S and T be linear transformations on a finit-dimensional vector
space over C.Suppose ST=TS.Show that they have a common eigenvector.
2.(p-1)!≡p-1 mod(1+2+...+p-1) if p is a prime number.
第一题我的解法是:假设x=\=0 是S的ㄧ个eigenvector，而λ是相对应
的eigenvalue
所以ST(x)=TS(x)=T(λx)=λT(x)
＝〉T(x)也是一个相对应λ的eigenvector,所以T(x)=ax,where x属於R
所以x就是S,T共同的eigenvector.
不知道是不是哪里有盲点，这样解的话，对所有的eigenvector都对吧
所以想请帮忙看一下是不是哪里解错了
而第二题不知道怎麽解，所以想请教一下
感谢
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◆ From: 118.166.226.69
1F：→ Vulpix :λ的eigenspace不见得只有一维... 02/09 22:23
2F：→ wyob :喔我没打清楚，我假设这里的x=[x1,x2,...,xn]^t 02/09 22:28
3F：→ wyob :然後题目里的S和T都是有限维度的 02/09 22:28
4F：→ Vulpix :我已经把这些假设脑补了 但不是这个问题啊 02/09 22:30
5F：→ Vulpix :你试试看 S=I,T随便 然後跑一遍你的证明 02/09 22:31
6F：→ Vulpix :问题是出在你选的x不一定刚刚好是λ的eigenspace中 02/09 22:32
7F：→ Vulpix :也是T的eigenvector的那一个 02/09 22:32
8F：→ wyob :喔喔，可是等式的最後不是就代表T(x)也在λ的 02/09 22:37
9F：→ wyob :eigenspace里吗?这样Tx和x应该就只差某各常数a倍 02/09 22:38
10F：→ wyob :所以Tx=ax,虽然x不再λ的eigenspace里，可是x会在a的 02/09 22:39
11F：→ wyob :eigenspace哩，这样想对吗 02/09 22:39
12F：→ ilovecs34 :你可以想成其实S找的eingenspace 就是T不变子空间 02/09 22:49
13F：→ Vulpix :等等，"T(x)也在λ的eigenspace里"真的代表Tx和x只差 02/09 22:50
14F：→ ilovecs34 :所以会存在eingenvector符合 并不是对所有 02/09 22:50
15F：→ Vulpix :某个常数a倍吗？一样用S=I的例子来检视看看： 02/09 22:51
16F：→ Vulpix :T随便选，x只要不是0都在S关於λ=1的eigenspace里 02/09 22:52
17F：→ Vulpix :那还能保证Tx一定跟x同方向吗？ 02/09 22:53
18F：→ wyob :喔喔了解了，感谢你，那我试试看i大的方法好了 02/09 22:55
19F：→ wyob :那第二题该从哪里下手比较好 02/09 22:56
20F：→ Vulpix :p=2很简单，p不是2的话可以用Wilson定理 02/09 23:03
21F：→ wyob :我有想过wilson定哩，可是mod後面要怎麽拆开来用呢 02/09 23:13
22F：→ Vulpix :hint:(p-1)!-(p-1)是p的倍数也是(p-1)/2的倍数 02/10 02:19