作者ntnusliver (炸虾大叔~~)
看板Math
标题Re: [代数] 结构
时间Thu Feb 10 19:44:43 2011
※ 引述《jimmy780331 (lucky晓筑)》之铭言：
: 不好意思 想请问一下一些集合的结构
: 1. Z_9 x Z_6
: 2. Z_9 x Z_6 / <(3,3)>
: ( <(3,3)> be the cyclic subgroup of Z_9 x Z_6 generated by (3,3) )
<(3,3)>={(3,3) (6,0) (0,3) (3,0) (6,3) (0,0)}
Z_9 x Z_6 有54个元素
=> Z_9 x Z_6 / <(3,3)> 有 54/6 = 9 个元素
又 Z_9 x Z_6 任何元素加3次 都落入 <(3,3)> 内
因此 Z_9 x Z_6 / <(3,3)> 中 元素的order 不是3就是1
=> Z_9 x Z_6 / <(3,3)> isomorphic to Z_3 x Z_3
: 以及下面这题
: Consider the ringof Gassian integers Z[i]
: (a) For a non-zero principal ideal J=<a+bi> in Z[i]
: prove that Z[i]/J is a finite ring
: (Hint: Z[i] is a Euclidean domain with norm v(x+yi)=x^2+y^2)
let S={ x+yi | x,y in Z and x^2+y^2 < a^2 + b^2 }
明显的 S是个有限集合
用Euclidean domain 的性质
for every c+di in Z[i]
there exist m+ni and e+fi such that
c+di= (a+bi)(m+ni) + e+fi v(e+fi) < v(a+bi) = a^2+b^2 or e+fi=0
因此 in the ring Z[i]/J
____ ____
c+di = e+fi 所以 任意一个Z[i] 中的元素
____ ____
都可以在 S 中找到一个数e+fi 使得 c+di=e+fi
所以 Z[i]/J 只有有限个元素
: (b) What's the number of elements in Z[i]/J for J=<1+i>？
: 这题是97年台联大考题 对於这方面的结构都不是挺了解
: 请多指点 感恩谢谢
S={x+yi |x,y in Z and x^2+y^2 < 2} ={0 , 1 ,-1,i,-i}
_ _ __ _ __
所以 Z[i]/J ={ 0 ,1 ,-1,i,-i}
_ _ ___ __
但其中 1 = 1 - (1+i) = -i
__ ___ _
且 -1 = -1 + (1+i) = i
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且 1 = 1 - (1+i)(1-i) = 1 - 2 = -1
_ _
所以 Z[i]/J ={ 0 ,1 } 只有两个元素
_ _
PS: 因为 1+i 不是unit in Z[i] 所以 1不在 <1+i> 内 所以 1 不等於 0
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杂鱼:哈哈哈~~我ㄧ直在观察 你才刚进来游戏~~真实之剑我要定了
使用
"扒手"攻击ntnusliver!
.......好人卡ㄧ张获得......
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※ 编辑: ntnusliver 来自: 218.168.40.104 (02/10 19:46)
1F：推 jimmy780331 :感谢学长！很详细 02/10 20:10