作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [机率] 关於箱子中未知球数的机率问题
时间Fri Feb 11 23:20:35 2011
※ 引述《whcat ()》之铭言：
: 小的 有个数学的问题 但不知如何区分
: 因为最近和朋友聊天的时候
: 正好天方夜谭的凭空冒出一个问题
: 就是一个箱子里面 有着未知颗数的球
: 每颗球都有自己专属的编号
: 用一只手从箱子里面 一次拿四颗球(假设箱子内球数比手拿取的颗数来的高)
: 拿完以後 再放回去 然後一直重复拿取球并记录的工作
: 这样子有可能得知箱子里面总共有几颗球!?
: 或是至少要做几次拿取并记录的工作才可以知道有几颗球?
: 也不用清楚的知道 可能可以用有很高的机率是几颗球!?
: 因为小的并非数学系毕业 XD
: 但是我觉得办得到!!!
: 却不知道怎麽计算?!
: 这问题是不是有点奇怪 XDDDD
: 但是却不知道该如何做到!?
设球数为 N, 未知.
设编号为 1,2,...,N.
若编号不是 1,2,...,N 连续号,
把实际号码与 1,...,N 做个对应.
设一次取 k 个球, 取 n 次.
只取一次(n=1), 因一次取出, 只能依大小顺序.
设取出之编号为 X_1< ．．．<X_k. 则其联合 p.m.f. 是
f(x_1,...,x_k) = 1/C(N,k), 1≦x_1<…<x_k≦N.
取 n 次, 设第 i 次取出之编号为
X(i,1)< ···<X(i,k), i=1,...,n.
则 {X(i,j), i=1,...,n, j=1,...,k} 之联合 p.m.f. 为
f({x(i,j): i=1,...,n, j=1,...,k}) = 1/[C(N,k)]^n,
1≦x(i,1)< ···<x(i,k)≦N, i=1,...,n.
则 N 之 M.L.E. (maximum likelihood estimate) 为
N^ = max{x(i,j): i=1,...,n, j=1,...,k}
此 M.L.E. 显然是永远低估的.
但 N^ 本身又是 N 的 complete sufficient statistic,
因此, 可藉由计算 E[N^] 而找出 N^ 的函数, δ(N^),
为 N 之不偏估计, 并且此不偏估计δ(N^)在所有 N 之不
偏估计中具有最小的均方误差, 称之为 UMVUE.
--
嗨! 你好! 祝事事如意, 天天 happy! 有统计问题? 欢迎光临统计专业版! :)
交大资讯次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率)
成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区)
盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话)
我们强调专业的统计方法、实务及学习讨论, 只想要题解的就抱歉了!
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 125.233.153.120
※ 编辑: yhliu 来自: 125.233.153.120 (02/11 23:24)
※ 编辑: yhliu 来自: 125.233.153.120 (02/11 23:26)
1F：推 whcat :恩~ 我想先谢谢你 但是我还要在搞清楚你写的东西 XD 02/12 00:43
2F：推 MOONY135 :好久没有看到UMVUE了... 02/12 08:31
3F：→ yhliu :给1F: 简单地说, 这是属於统计上如何估计 N 的问题. 02/12 09:14
4F：→ yhliu :至於本文内容, 没学过数理统计大概不能完全弄清楚, 02/12 09:16
5F：→ yhliu :完全没接触统计更可能完全不懂在写甚麽. 02/12 09:16
6F：→ yhliu :至於你原来问的: 要抽几次(n要多大)可以完全知道 N? 02/12 09:17
7F：→ yhliu :在 N>k (你原问中 k=4) 之假设下是: 不论 n 多少都不 02/12 09:18
8F：→ yhliu :可能完全确定 N. 02/12 09:19
9F：推 whcat :那其实也不用需要完全确定n值 N是多少的机率最大为何 02/12 09:55
10F：→ whcat :将也不行吗? 02/12 09:55
11F：→ yhliu :找出 N 的估计量 T, 可以求出 T 的分布. 02/12 10:59
12F：→ yhliu :本文谈的就是 T 的两种, 一是 MLE N^, 另一是 UMVUE. 02/12 11:00