作者penguin7272 (企鹅)
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标题Re: [中学]2011 AMC12 第25题
时间Sat Feb 12 08:06:31 2011
※ 引述《qoolinboy (LYK)》之铭言：
: 25.在三角形ABC中，角BAC=60度，角CBA<=90度，线段BC=1，且线段AC>=线段AB。
: 设H、I、O分别为三角形ABC的垂心、内心与外心。
: 试问角CBA是几度时，五边形BCOIH有最大的面积？
∠BHC = ∠HBA + ∠BAC + ∠HCA = 30°+ 60°+ 30°= 120°
∠BIC = (∠IBA + ∠ICA) + ∠BAC = (180°-∠BAC)/2 + ∠BAC = 120°
∠BOC = 2 ∠BAC = 120°
所以BHIOC共圆, 假设圆心为D
则△BOD和△COD是正三角形
假设现在固定BC边, A是动点
△BOC面积跟A无关, 求BCOIH最大面积就是求BHIO最大面积
又固定BC边则BD边也固定了
所以也等同求BDOIH最大面积, 即最大的△BDH + △HDI + △IDO
因为BI平分∠CBA, ∠ABH = ∠OBC = 30°, 所以∠HBI = ∠IBD, HI = IO
这三个三角形面积和最大在三个都一样的时候
可由凸函数看出来
BD^2[sin∠BDH +sin∠HDI +sin∠IDO]/2 ≦ BD^2 3sin[(∠BDH +∠HDI +∠IDO)/3]/2
又保证了HI = IO, 所以移动A使BH = HI时有面积最大
此时∠HBI = ∠IBD = ∠HIB, ∠BID = 150°, ∠HBD + ∠HID = 180°
解得∠HBI = 10°
所以∠CBA = 80°
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◆ From: 182.235.65.47
1F：推 qoolinboy :角HCB为何等於30度 02/12 10:36
2F：推 qoolinboy : HCA 知道了！ 02/12 10:42
※ 编辑: penguin7272 来自: 182.235.65.47 (02/12 10:48)