作者ranger25 (ranger25)
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标题Re: [微积] f(x+y) = f(x)f(y) implies f(x) = a^x
时间Sun Feb 13 10:31:08 2011
※ 引述《jacky7987 (忆)》之铭言：
: ※ 引述《GSXSP (Gloria)》之铭言：
: : f(x) differentiable on (-∞,∞)
: : with f(x+y) = f(x)f(y)
: : prove that f(x) = a^x for some a
: : (Hint: ln f(x) must have constant derivitive)
: : 我做 f'(x) f'(y)
: : grad ln f(x+y) = (------ , ------ )
: : f(x) f(y)
: : f'(x)
: : 但是还是看不出来 ----- 是constant
: : f(x)
: : 请问这题要怎麽做呢?
: 提供另外一个方法试试看好了
: 2
: f(0)=f(0+0)=f(0)
: =>f(0)=0 or 1
: Case 1:
: If f(0)=0 them f(x)≡0 for all x in R.....done
: Case 2:
: if f(0)=1
: for n \in N n
: f(n)=f(1+1+...+1)=f(1)
: ￣￣￣￣n times
: 1=f(0)=f(1+(-1))=f(1)*f(-1)
: -1
: => f(-1)=f(1)
: Hence for n be negtive integer
: -n -1 -n n
: f(n)=f((-1)*(-n))=f(-1)*f(-n)=f(-1)*f(1) =f(1) * f(1) =f(1)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
应该改成f(-1)^-n=(f(1)^-1)^-n=f(1)^n
: 1 1 1 1 m
: Moreover, f(1)=f(--- + --- + ...+---) = f(---)
: m m m m
: ￣￣￣￣￣￣￣￣m times
: 1
: (---)
: 1 m
: hence f(---)=f(1)
: m
: n
订正 ---
n 1 n m
finally, f(---)=f(---) =f(1)
m m
: 到此我们做完全部的有里数的部份
: therefore, for r be a irrational number there exists a seq {x_n} ,where x_n
: are all rational number such that x_n->r
: and f is diff => f is conti
: Hence
: x_n r
: f(r)=lim f(x)= lim f(x_n)= lim f(1) =f(1)
: x->r n->inf n->inf
: let f(1)=a, we are done
: ＝＝＝
: 这作法是模仿线性的XDD
: f(x+y)=f(x)+f(y)
很厉害^^b
请问就CASE1而言，f(x)≡0怎麽说明f(x)=a^x？
a=0？可是0^0不存在啊
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 220.134.181.173
※ 编辑: ranger25 来自: 220.134.181.173 (02/13 10:49)
1F：推 jacky7987 :可能得说广义的对吧，分段定义在0的时候是0 02/13 11:04
2F：→ jacky7987 :其他地方则是0^x次方 02/13 11:04
3F：→ jacky7987 :然後我写的的-n已经变成正整数了，可以直接用前面证 02/13 11:05
4F：→ jacky7987 :的去写 02/13 11:05
5F：→ jacky7987 :所以我才那样写XDD 02/13 11:05
6F：→ jacky7987 :别理我我那边写错XD 02/13 11:06
7F：→ jacky7987 :你写的是对的 02/13 11:07
8F：→ ranger25 :是题目的问题啦 02/13 11:16
9F：→ ranger25 :f(x)≡0并无违反题意，但结果很明显是错的 02/13 11:20