作者ilovecs34 (彼得)
看板Math
标题Re: [线代] 几个命题的真伪
时间Mon Feb 14 10:40:25 2011
※ 引述《Madroach (∞)》之铭言：
: 写题目的时候碰到几个不确定的叙述
: 1)A and B are n*n matrices, AB = O, then all eigenvalues of BA are 0.
: 2)A is a n*n matrix over R s.t A^2=-I_n, then
: ( i ) n must be even
: (ii ) tr(A)≠0
: (iii) if B^2=-I_n , then A.B are similar
: 这四条命题实在很不确定 Q Q
: 有请前辈指教!
前面都有人回答了
那我就补充2)(iii)
if B^2=-I -> Let f(x)=x^2+1
By C.H Thm f(B)=O
mB(x)|f(x)
mB(x)=(x-i)(x+i) or (x-i) or (x+i)
A同理，
Let mB(x)=(x-i) mA(x)=(x+i)
Hence, A, B不相似。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 220.143.56.123
1F：推 Madroach :对耶!这是个好办法! 谢谢你!! :) 02/14 10:59
2F：→ Vulpix :实矩阵的min.poly.应该是实系数吧 02/14 23:37
3F：→ Vulpix :另外，这问题用Jordan form做出来是"true" 02/14 23:37
4F：推 ppia :minimal poly. = x^2+1 的话, over |R 就没有 02/15 14:47
5F：→ ppia :eigenvalue, 楼上指的是 rational canonical form吗? 02/15 14:47
6F：→ ppia :因为 inv. factor 一定只能是 {(x^2+1),(x^2+1),...} 02/15 14:49
7F：→ ppia :讲错, 是 elem. divisor, 所以这题 over |R 是对的 02/15 14:50
8F：→ ppia :是这样吗? 02/15 14:50
9F：→ ppia :刚刚看了一下原题有"over |R" 这个条件啊 02/15 14:52
10F：推 Madroach :嗯真的耶 题目确实有写 over R @@" 02/15 22:13
11F：→ ilovecs34 :sorry造成你的误解 是我的疏忽 02/16 10:27
12F：→ ilovecs34 :不过因为这样的矩阵在Ｒ上不能做成Jordan form 02/16 10:30
13F：→ ilovecs34 :所以你考虑在Ｃ上形成Jordan form 会发现不相等 02/16 10:31
14F：→ ilovecs34 :所以回到R上时 A B不相似 02/16 10:32
15F：→ ilovecs34 :第二句不要理我= = 02/16 10:43
16F：推 ppia :不对吧 比如说 n=2 你举的例子 A,B 在 M_2(C) 里面 02/16 13:55
17F：→ ppia :会相似於 iI_2 或 -iI_2, 但这两个方阵根本不可能 02/16 13:56
18F：→ ppia :跟 M_2(R) 里面任何一个方阵相似 这反例是不成立的 02/16 13:57
19F：→ ppia :上面用 Rational Canonical Form 的证明应该可以吧 02/16 13:57
20F：→ ppia :也就是说这个命题在 M_n(R) 里面是成立的 02/16 13:58
21F：→ ppia :还有可能是 [i 1; 0 i] 或 [-i 1; 0 -i] 02/16 14:00
22F：→ ppia :但无论如何 因为 A, B 的 trace 是实数, 上面的反例 02/16 14:00
23F：→ ppia :不成立 02/16 14:01
24F：→ ppia :对不起 我耍笨了 [i 1; 0 i] 或 [-i 1; 0 -i] 不可能 02/16 14:02