作者JohnMash (Paul)
看板Math
标题Re: [线代] Linear transformation
时间Tue Feb 15 19:56:19 2011
※ 引述《sm008150204 (风切羽狂)》之铭言:
: 3
: Show that in R the rotation around the unit vector
: v = [a,b,c] by angle θ is
: [a^2 ab ac] [ 0 c -b]
: Q = cosθ I + (1-cosθ)[ ab b^2 bc] - sinθ [-c 0 a]
: [ ac bc c^2] [ b -a 0]
:
: = cos I + (1-cosθ) A - sinθ B
设初始 行向量 是 U=[x,y,z]^t (t表示转置)
则 U 在 v 上的投影向量是 W=(U.v)v=(ax+by+cz)[a,b,c]^t
=[a b c]^t [a b c][x]
[y]
[z]
=A.U
且 A_{km}=vk vm (此处 v1=a, v2=b, v3=c)
则 R=U-W=U-A.U=(I-A).U 是作平面旋转θ角 (这是关键)
令 N = v ×R = v ×(I-A).U
则 Ni=ε_{ijk} vj (I-A)_{km} Um
= ε_{ijk} vj Uk - ε_{ijk} vj vk vm Um
= ε_{ijk} vj Uk
= P_{ik} U_k
则 P_{ik}=ε_{ijk} vj
P11= P22= P33=0
P12=-P21=-v3=-c
P23=-P32=-v1=-a
P31=-P13=-v2=-b
因此 P=-B
N=P.U=-B.U
则 R 转到 R'=cosθ R + sinθ N
=cosθ (I-A).U + sinθ N
则 U 转到 U'=W+R'=A.U + cosθ (I-A).U - sinθ B.U
因此 Q = cosθ I + (1-cosθ) A - sinθ B
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※ 编辑: JohnMash 来自: 112.104.207.43 (02/15 20:04)
1F:推 sm008150204 :看的有点头大 我慢慢消化罗 感激不尽 02/15 23:35