作者firstshiva (敢爱敢恨真性情)
看板Math
标题Re: [线代] Dimension and nullspace
时间Thu Feb 17 04:53:26 2011
(<=)
if A^2 = I
则 A 的特徵值只有 1 or -1
假设 1 的个数为 k 个
-1 的个数为 n-k 个
则 nullity(A+I) = n-k , nullity(A-I) = k
nullity(A+I) + nullity(A-I) = n = dim(V)
(=>)
nullity(A+I) + nullity(A-I) = n = dim(V)
所以知道 A 的特徵值可能有 1 和 -1
而且两个对应的特徵空间 E_1 还有 E_-1 的维数加起来是 n
又知道两个不同特徵值的所对应的特徵空间其交集为零空间
则推得 E_1 ⊕ E_2 = V
所以任何 x , Ax = x or Ax = -x 则 A^2 x = x
=> (A^2 - I)x = 0 对任何 x
=> A^2 = I
※ 引述《sm008150204 (风切羽狂)》之铭言：
: Prove that dim(Ker(A+I)) + dim(Ker(A-I)) = dim(V)
: 2
: if and only if A = I
: 没有头绪 希望有好心人可以提示我一下
: 感激不尽！！
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※ 编辑: firstshiva 来自: 140.112.218.113 (02/17 04:55)