作者Jer1983 (stanley)
看板Math
标题[分析] 两题高微
时间Sat Feb 19 23:12:46 2011
1.
let f:[a,b] -> R be a differentialble function. f'(a) = +infinity
f'(b) = -infinity. For c in R, there exists x and y in [a,b]
such that f'(x) > c and f'(y) < c. 请问这件事是怎麽做到的?
2.
let f:(a,b) -> R be a differentiable function, then |f(x)| <= K for
x in (a,b). 请问这边是怎麽来的? (我只知道连续函数在闭区间是有界)
(题目)
设f在开区间(a,b)为连续且可微分实质函数, 则f在(a,b)将为均匀连续.
(证明)
利用假设函数f在(a,b)为有界, 故存在K使得|f(x)| <= K. (这边看不懂怎麽来)
因为f在(a,b)为连续且可微分, 给定(a,b)中任意两点x,y, 利用均值定理将存在
一点c介於x,y之间, 使得
|f(x)-f(y)| = |f'(c)||x-y| <= K|x-y|
(前面写的是|f| <= K, 这边突然变|f'|, 应该是打错吧...)
最後令 delta = epsilon / 2
|f(x)-f(y)| < K * delta < epsilon
因此f在(a,b)为均匀连续.
大致的过程是这样, 整个看起来很怪.
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