作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[复变] 观念问题
时间Mon Feb 21 22:26:57 2011
1.
f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)
然後说如果f'(x+iy)要存在 则任何逼近方法所得的结果都要一样
如果以实数而言
就像是
f(x)-f(xo) f(g(t))-f(g(to))
lim ───── = lim ─────────
x→xo x - xo g(t)→g(to)=xo g(t) - g(to)
意思就是用函数的方式去逼近也要是相同的结果
问题来了
如果我们把 f：C→C 看成是 f：R^2→R^2
那麽
┌ u(x,y) ┐
f(x,y)= │ │
└ v(x,y) ┘
而我查wiki和Boas都是讲说 f'(x+iy)从实轴跟虚轴逼近方式要一样
但是换成R^2来看 不就变成从X轴跟Y轴逼近方式要一样
可是这麽说来 fx(x,y)要等於fy(x,y) 这根本很少发生吧
老师上课有稍微提一下说 f：C→C f：R^2→R^2 有不同
在C的关联中 说什麽实部跟虚部会有一些关连 所以有一些不同
可是有具体的形容吗？
总结而言 f：C→C 中 f'(x+iy)从实轴跟虚轴逼近方式要一样
相当於在 f：R^2→R^2 会出现的什麽现象？
2. 老师上课证的定理
Let U is an open connected set in C
f：U → C , f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)
if (1) u(x,y) , v(x,y) € C1(U) , for all (x,y) € U
(2) Cauchy-Rimean Equations hold
then f is analytic at (x,y)
而我们老师的证明方法是凑出
f(x+iy)-f(xo+iyo)=ux(x,y)+ivx(x,y) + Error item
这里并没有规定x+iy是如何逼近到xo+iyo
所以可以说x+iy以任何方式逼近到xo+iyo都会等於ux(x,y)+ivx(x,y)
可是 我们只知道说
如果f'(xo+iyo)存在
则x+iy以任何方式逼近到xo+iyo都会等於ux(x,y)+ivx(x,y)
并没有说 若x+iy以任何方式逼近到xo+iyo都会等於ux(x,y)+ivx(x,y)
则f'(xo+iyo)存在
所以这个证明是不是还差了：
x+iy以任何方式逼近到xo+iyo都会等於ux(x,y)+ivx(x,y)
if and only if
f'(xo+iyo)存在
3.
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 111.251.227.15
※ 编辑: znmkhxrw 来自: 111.251.227.15 (02/21 22:33)
1F：推 yusd24 :复变函数没有均值定理.. 02/21 22:54
2F：→ yusd24 :2. 极限存在就是可微分的定义 02/21 22:55
3F：→ yusd24 :1. 实变里面不能处理 "除以(0,1)向量" 的问题 02/21 22:56
4F：→ yusd24 :但是在复变里面可以..因为"除以 i"是有意义的 02/21 22:57
5F：→ yusd24 :这也是为什麽复可微比实可微厉害.. 02/21 22:57
6F：推 yusd24 :补充一下例子 f(z)=exp(iz) with a=0, b=2pi 02/21 23:00
※ 编辑: znmkhxrw 来自: 111.251.227.15 (02/22 01:45)