作者j19951102 (j19951102)
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标题Re: [中学] 可能是数学竞赛的题目
时间Mon Feb 21 22:35:25 2011
a^2+3ab+b^2=(a-b)(a+4b)+5b^2
∴gcd((a^2+3ab+b^2),(a-b))=gcd((a-b),5b^2)
∵gcd((a-b),b^2)=1
∴gcd((a-b),5)=1或5
经验证gcd((a-b),5)=1时无整数解
gcd((a-b),5)=5时，令a=5k+b
代入原分式
5k k
__________________ = ________________
25k^2+25kb+5b^2 5k^2+5kb+b^2
∵gcd((a^2+3ab+b^2),(a-b))=gcd((a-b),5b^2)=5
∴gcd(k,(5k^2+5kb+b^2))=1
即k=2 5k^2+5kb+b^2=59
解出(a,b)=(13,3)
另附上出处
http://ppt.cc/J76V 2009高雄城市盃队际赛解答
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◆ From: 114.39.26.15
1F：→ LKK :解答写的比简单, 学生容易懂, 还有一种方式try... 02/21 23:37
2F：→ LKK :有的学生用扩分, 最後找出答案.... 02/21 23:38
3F：→ j19951102 :这是我自己想的解法，仅供参考，标准答案当然比较好 02/21 23:42
4F：推 henry1114 :中学生要想到第一步不太容易吧... 02/22 13:02