作者sato186 (银色轰炸机)
看板Math
标题Re: [分析] compact sets
时间Tue Feb 22 17:51:31 2011
※ 引述《r4553280 (Q睿)》之铭言：
: Suppose that {Vα} α belong to A,is a collection of nonempty open sets in X
: which satisfies Vα∩Vβ = Φ(空集合) for all α≠βin A.Prove that if X is
: separable,then A is countable.
: 这是这课本的习题
: 後面没给提示
: 感觉跟Lindelof's theorem 有关系
: 可是想不到该怎麽证
: 可以请教一下解答 已经该如何思考解题的方向吗?
: 先谢谢各位高手~
果然是个上进的好学弟XD
Proof
Let Ｃ:={ Ｖ } and
S = ∪Ｃ. Clearly, Ｃ is an open cover
α α in A
for A. Since the space X is separable, by
Lindelöf's theorem,
there is a countable cover Ｋ of Ｃ so that S is contained in ∪Ｋ.
Hence ∪Ｃ = ∪Ｋ. By the assumption of Ｃ, we can conclude that
Ｃ = Ｋ is countable.
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XX 2/14 - □ (已被oralsex5566删除) <> 请洽它它板
1F：→ YU0121:删本：就让他删 删久了累了就不会在删了02/15 22:06
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
2F：推 calvin4 :♪ 02/22 18:54
3F：推 r4553280 :可是交集为空集合的条件没用到 还是其实用了我没看到 02/22 20:18
如果开集合 O 属於Ｃ, 由於 ∪Ｃ = ∪Ｋ, O 必为 Ｃ 之中某些开集合的联集
这时由
交集为空集合的条件, 得知 O 只可能是 O 本身, 不会是两个以上的 Ｃ 之中
的开集合的联集.
※ 编辑: sato186 来自: 140.123.63.57 (02/23 08:56)