作者GaussQQ (亮)
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标题Re: [中学] 数论题
时间Fri Feb 25 23:19:00 2011
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之铭言：
: 设整数m、n满足m≧n且m^3+n^3+1=4mn，求m-n的最大值
: 急需，拜托高手帮忙
基本上我是把它看成不等式问题
比如说 当在m≧n≧0的时候:
状况一: m>n:
可以容易得到 m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)>(m+n)4n 後面不等式 是n>4成立
所以可知 m^3+n^3+1>4mn 当n>4
因此 你只要带n=1,2,3去解m
状况二: m=n:
简单的习题
当在 m≧0≧n的时候:
Let -n=s
考虑题目条件变成: 1.s≧m≧0 or 2. m≧s≧0
则对应题目就会转变成 m^3-s^3+1=-4ms 又等价於 s^3-m^3-1=4ms
1.s≧m≧0:
考虑状况一 :s>m+1
s^3-m^3-1=(s-m)(s^2+sm+m^2)-1≧2(s^2+ms+m^2)-1≧4ms
状况二: s=m+1:
简单的习题
状况三: s<m+1
但是我们由条件知道 s≧m 所以 m+1>s≧m => s=m
代入等式解
2.m≧s≧0:
s^3-m^3-1<0 但是4ms≧0 无解
最後一种case: 0≧m≧n:
另-m=t, -n=s 则条件变成 s≧t≧0.
题目变成: s^3+t^3-1=-4st
因为s,t都是≧0 因此 这个等式左边 最小只可能是负数的可能只有s=t=0
但是右边却是0。 因此这个状况没有解
然後你算一算就可以了
也许有更加便捷的方法 这个方法就只是看准了三次方 跑得一定比mn这样的东西快
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◆ From: 140.114.230.75
1F：推 j19951102 :谢谢你，其实我的方法跟你一样，只是我讨论到m≧0≧n 02/25 23:34
2F：→ j19951102 :时不知怎麽证明m小於n的绝对值，题目不成立，也就是 02/25 23:36
3F：→ j19951102 :你用的-n=s这个方法来证明我想不到,又学了一种新方法 02/25 23:37
※ 编辑: GaussQQ 来自: 140.114.230.75 (02/25 23:46)