作者ckchi (飘)
看板Math
标题Re: [中学] 关於上一题
时间Fri Feb 25 23:28:59 2011
※ 引述《qoolinboy (LYK)》之铭言：
: 关於上一题证明
: 想请问 证明 (根号3+1)^2n + (根号三-1)^2n 为整数的方法
: 除了完全展开以外，还有什麽解决方法??
临时想的
不知道会不会有点复杂...
令 a=(根号3+1)^n b=(根号3-1)^n
所以 (根号3+1)^2n + (根号3-1)^2n
= a^2 + b^2
= (a+b)^2 - 2ab or (a-b)^2 + 2ab
而 ab = (根号3+1)^n * (根号3-1)^n
= [(根号3+1)*(根号3-1)]^n
= 2^n (为整数)
(i) 当 n 为奇数时：
a-b = (根号3+1)^n - (根号3-1)^n
所有根号3的奇数次方(1/-1的偶数次)都会消掉
因此a-b为整数
由整数的封闭性：(a-b)^2 + 2ab 为整数
(ii) 当 n 为偶数时：
a+b = (根号3+1)^n + (根号3-1)^n
所有根号3的奇数次方(1/-1的奇数次)都会消掉
因此a-b为整数
由整数的封闭性：(a+b)^2 - 2ab 为整数
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.127.158
1F：→ ckchi :又...如果把b改成 (1-根号3)^n 就不用分两种case讨论 02/25 23:41
2F：→ ckchi :一律用 (a+b)^2-2ab就可以了 02/25 23:42