作者ckchi (飘)
看板Math
标题Re: [中学] 关於上一题
时间Sat Feb 26 00:03:15 2011
※ 引述《qoolinboy (LYK)》之铭言：
: 还有证明 若 2^n+1 | (根号3+1)^2n + (根号三-1)^2n
: 则 2^n+1 亦整除 根号3*(根号3+1)^2n - 根号3*(根号三-1)^2n
我想先确认一下
是 2^n + 1
还是 2^(n+1)
如果是2^n + 1请略过下面...
一样令 a = (根号3+1)^n , b = (根号3-1)^n
首先...
根号3*(根号3+1)^2n - 根号3*(根号3-1)^2n
= 根号3*(a^2-b^2)
= 根号3*(a+b)*(a-b)
因为 (a+b) 和 (a-b) 中
一定有一个是整数，另一个是根号3*整数
所以 根号3*(根号3+1)^2n - 根号3*(根号3-1)^2n 一定是整数
又，
(根号3+1)^2n + (根号3-1)^2n
= (a+b)^2 + 2ab or (a-b)^2 - 2ab
= (a+b)^2 + 2*2^n or (a-b)^2 - 2*2^n
= (a+b)^2 + 2^(n+1) or (a-b)^2 - 2^(n+1)
因此若 2^(n+1)|(根号3+1)^2n + (根号3-1)^2n
则 2^(n+1)|(a+b)^2 且 2^(n+1)|(a-b)^2
所以2^(n+1)|根号3*(a+b)*(a-b) (这步好像有点不严谨，要再想想)
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