※ 引述《pop10353 (卡卡:目)》之铭言： : EX. : 题目为 : 两变动三角形的面积和之最小值 : 5*(20-X)*(1/2)+X*[5X/(20-X)]*(1/2) : 其中20>X>0 : 整理後 X^2 + (20-X)^2 : (5/2) * _______________ : 20-X : **正解做法 : 200 : => { _____ + -X } *5 : 20-X : 200 : => { (20-X) + _____ -20 }*5 : 20-X : => >= [ 2*(200)^(1/2)-20 ]*5 : MIN=100*√2 -100 : **令解 : 整理後 X^2 : (5/2) *[ _____ + (20-X) ] : 20-X : >= (5/2) * 2X : 因为"=" 成立时 元素须均等 limit存在 : X^2 : _____ = (20-X) => 算出 X=10 带回原式 : 20-X : MIN = 50 : 请问....矛盾点在?? : 我想了很久.... 老师说我固执... 唉 我也不想--- 这是很多同学都有的疑惑,求极值时常会用此方法求. 我一直想回答此问题,但总觉得说得不清楚,直到之前才有新的想法. 今天看到这篇,又有回文做了正面说明,现在刚好可以从反面来说. 以下纯粹论数学,并非针对原PO,文字若有冒犯,请包涵. 原PO的问题比较复杂,换简单一点的题目来看. 1. 0≦x≦π/2 , 求 sinx + cosx 的极小值. 根据算几不等式 , (sinx + cosx)/2 ≧ √(sinxcosx) . 等号成立在sinx = cosx , 即 x = π/4 . 代回原式得 sinx+cosx 的最小值为√2 . 2. x>0 , 求 (8/x) + x^2 的极小值. <法1> 根据算几不等式 , (8/x + x^2)/2 ≧ √(4x) . 等号成立在8/x = x^2 ,即 x = 2 . 代回原式得 8/x + x^2 的最小值为8 . <法2> 根据算几不等式 , (8/x + x^2/2 + x^2/2 )/3 ≧ (2x^3)^(1/3) . 等号成立在8/x = x^2 /2 ,即 x = 2^(4/3) . 代回原式得 8/x + x^2 的最小值为3* 2^(5/3). <法3> 根据算几不等式 , (8/x + x^2/3 + x^2/3 +x^2/3 )/4 ≧ ...... 依此类推,爱分几项就分几项,一题多解,只是求出的答案都不同而已. 3. 0<x<π/2 , 求 (sinx)^3 cosx 的极大值. 根据算几不等式 , (sinx+sinx+sinx+cosx)/4 ≧ (sin^3x cosx)^(1/4) . 等号成立在sinx = cosx ,即 x = π/4 . 代回原式得 sin^3x cosx 的极大值为 1/4 . 4. 换应用题,在河边用长1m的绳子围地,要围成矩形ABCD,AB是河岸,另外三边用绳子围. 问要如何围,围到的地会最大? 设BC长x=DA,则0<x<1.那麽CD=(1-2x)=AB.矩形面积为x(1-2x) . 根据算几不等式 ,[ x + (1-2x) ]/2 ≧ √[x(1-2x)] . 等号成立在 x=1-2x , 即x=L/3, 代回x(1-2x)得最大面积为1/9 m^2 . 5. 0<x<π/2 , 求 2/sinx + 3/cosx 的极小值. <法1> 根据算几不等式, [2cscx + 3secx]/2 ≧ √[6cscxsecx)] 等号成立在 2/sinx = 3/cosx 时 , 即x = arctan(2/3) . 代回原式得 2/sinx + 3/cosx 的极小值为2√13 . <法2> 根据科西不等式, [2/sinx + 3/cosx][sinx + cosx] ≧ [√2 + √3 ]^2 , 等号成立在√[2/sinx] / √sinx = √[3/cosx] / √cosx 时, 即x= arctan(√(2/3)) . 代回原式得 2/sinx + 3/cosx 的极小值为 √10 + √15 . <法3> 根据科西不等式, [2/sinx + 3/cosx][sin^2x + cos^2x] ≧ [√(2sinx) + √(3cosx)]^2 . 等号成立在√[2/sinx] / sinx = √[3/cosx] / cosx 时, 即x= arctan((2/3)^(1/3)). 代回原式得 2/sinx + 3/cosx 的极小值为 [2^(2/3) + 3^(2/3)]^(3/2) . ------ 好啦,例子够多了.我要表达的是,不等式一边仍然有未知数,如果这样没关系的话, 那麽不管题目怎样出,问题出的多复杂.我只要随便写个算几或科西, 然後算出等号成立时的解代回就好了,数学好简单. 高三不等式占了一章(我不确定现在教材还是这样),其实上面两行就够了. 如果可以这样算的话,那麽其他准备数学竞赛而辛苦练习不等式的同学就全部是笨蛋了. 以上的例子只有第5题<法3>算出来的答案是对的,其他明显全部都错. 而第5题<法3>的解法也是错的,因为右边仍然有未知数x,得出正确答案只是碰巧而已. 所以就算你以前曾经用此方法算对答案得到分数而嚐到甜头之後一直用, 那也只是运气好而已.不代表方法就对. 学校老师,补习班都会教说用等号成立的等式下去解题会比较快,他们说得没错. 但不是说随便写个算几什麽的就好,是要想办法凑到一边没有未知数, 而如何凑出来当然就是看功力了. 最後,为何我要举一堆反例,而一直不说明为什麽不能这样算呢. 因为一个命题如果是对的,才需要证明;错的命题举出反例即可. 方法也是一样,方法是否可行?是的话才需要说明;不是的话举反例就够了. 所以不应该是问说为什麽会有反例,为什麽这方法会错. 而是你要用此方法算时,就要问自己: 这方法的根据到底在哪里,我到底是凭什麽认为这方法是对的? 没有确实根据的话,我又怎麽能够相信这方法算出来的答案? --

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