※ 引述《pop10353 (卡卡:目)》之铭言： : EX. : 题目为 : 两变动三角形的面积和之最小值 : 5*(20-X)*(1/2)+X*[5X/(20-X)]*(1/2) : 其中20>X>0 : 整理後 X^2 : (5/2) *[ _____ + (20-X) ] : 20-X : >= (5/2) * 2X : 因为"=" 成立时 元素须均等 limit存在 : X^2 : _____ = (20-X) => 算出 X=10 带回原式 : 20-X : MIN = 50 : 请问....矛盾点在?? : 我想了很久.... 老师说我固执... 唉 我也不想--- --- 第一篇回文的大大已经有说到重点了 除了手痒想画一下图外 XD 还有针对标题提出自己的看法 假设欲求 y = f(x) 在 region D 上的最大(小)值 若用一些常用的不等式推论出 f(x) ≧ m for all xεD "假如" 等号成立的时候可以找到一(些) x ( 或是证明存在一数 kεD, 使得 f(k)=m , 但表示不出 k 的 form ) 根据 minimum 的定义， f(k) 即为 f(x) 在 D 下的最小值 但若你得到的 form 是: f(x) ≧ g(x) , g(x) is a function of x 如下图所示: y ∕ y = f(x) ↑ ∕ │ ∕ 　　　　　　　│ ／＿＿ y = g(x) 　　　 ＼│　 ╭╮　　 ／∕ 　　　　　　 ＼ ／ ＼ ／ ∕ 　　　　　　　│╳ ╭╮ ＼／ ／ 　　　　　　 ／ ╰╯ ＼ ／ 　　 　　 　／│　 　　 ＼／ 　　　 │ 　　─────┼────────┼──────→ x k p ←────────→ region D 若求解 f(x)=g(x) in D 会得到 x = p 这个值 ( 图画有点烂＝＝a ) 但这个动作并不保证 f(x) ≧ f(p) for all xεD 因为由图中易知 f(p)≧f(x) for all xε[k,p] ( 以此例子而言， f(x) 的 min = f(k) ) ------------------------------------------------------------------------------- 　　所以是否以後求极值问题 　　不等式尽量不要双边出现都未知变数 ? 　　我觉得要看你用的如何、以及你所想解决的问题适不适用 　　假设随便举一个问题: find the maximum value of f(x) = 2√(2x-1) + (1/x) - x for x≧(1/2) 像这种单变数函数，找的到不等式就下去凑 　　找不到就用微分硬干求解 　　但也可以利用算几不等式下去求: x + [2 - (1/x)] ≧ 2√(2x-1) → 2 ≧ 2√(2x-1) + (1/x) - x = f(x) 所以 max{f(x)} = 2 , 等号成立於 x = 2-(1/x) (or x=1) 会发现上面的例子所使用的算几不等式 　　其不等式左右两边都为 x的函数 但是可以很漂亮的解决该问题 ! 这类技巧在很多学科竞赛的题目中，有时候都可以用的上 　　只要你脑筋动得够快，或是你本身就是出题老师 XD 除了解这类问题 　　有时候得到如 f(x) ≧ g(x) 这种式子 　　可以拿来分析问题 ( 例如 Asymptotic Notation ) f(x) 或许在分析上非常的复杂 　　但若找到一个函数 g(x) 可以 bound 住 f(x) 但 g(x) 相对上容易分析 　　或许可以由 f(x) ≧ g(x) 这个不等式，藉由分析 g(x) 来抽出 f(x) 可能也具备何种特性 所以也不要有先入为主的观念 　　认为得到 "f(x) ≧ g(x)" 就一定没任何用处 　　得端看你在处理何种问题 --

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