※ 引述《young11539 (〝☆小小霈★”)》之铭言： : 一题有关於ODE方程组的问题 : ds(t) a*h^(3/2) : ---- = --------- : dt s : dh(t) a*h^(3/2) b*h^(3/2) : ---- = ---------- - : dt s : a b is constant : and h(0)=s(0)=0; : 请问有办法求出s h 的显函数形式嘛? : 谢谢! --- ( 以下算法考虑 a、b≠0 ) ┌ s' = (a/s)*h^(3/2) ____(1) └　h' = (a/s)*h^(3/2) - b*h^(3/2) ____(2) 把 (1)式带入 (2)式 可得: h' = s' - (b/a)ss' → h = s - (b/2a)s^2 + C1 由 h(0)=s(0)=0 易知 C1 = 0 所以 h = s - (b/2a)s^2 ____(3) 再将 (3)式　带回 (1) 式: s' = a(1-ks)√(s - ks^2) , 其中 k = b/(2a) (at)^2 解得 s(t) = ────── ( 已考虑 s(0)=0 ) 4 + k(at)^2 4(at)^2 在根据 (3)式 可得 h(t) = ──────── [4 + k(at)^2]^2 --- 不确定对不对，感觉有点怪怪的 = =ll solution　可能不只一条，只是那些都是 weak solution --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.47.130 假设先不管 initial value 的条件: s' = a(1-ks)√(s - ks^2) 1 → ∫ ─────────── ds = at + C (1-ks)^(3/2) * s^(1/2) 1 → ∫ ─────────── ds = at + C [(1/s)-k]^(3/2) * s^2 -1 → ∫ ──────── d(1/s) = at + C [(1/s)-k]^(3/2) → 2[(1/s) - k]^(-1/2) = at + C (at+C)^2 再稍微整理一下可得 s(t) = ─────── 4 + k(at+C)^2 而 singular solution 满足 (1-ks)√(s - ks^2) = 0 或是 s(t) = (1/k) or 0 而这里的 s(0)=0 恰好会决定出 s(t) 通解曲线族中的其中一条 (C=0) ---- 其实我个人的疑问是 原 o.d.e. 组中， s'(0) 和 h'(0) 并未 defined 所以最後的 solution 还需要分区段去讨论以满足原题 或许一开始的题目改写成解 ┌ ss' = ah^(3/2) └ sh' = ah^(3/2) - bsh^(3/2) s(0) = h(0) = 0 会比较恰当 ※ 编辑: doom8199 来自: 140.113.47.130 (02/28 02:16)