作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [中学] 关於期望值和变异数的证明
时间Sun Feb 27 21:36:22 2011
※ 引述《imokman (胡)》之铭言：
: 数甲I的范围，自修里面提到的
: E(X)是随机变数x的期望值，Var(X)是随机变数Y的变异数，其余以此类推
: 问题如下
: "若X,Y是样本空间中独立的两个随机变数
: 则 E(XY)=E(X)E(Y)且Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)"
: 课本里面好像没有提到证明，参考书也没有
: 例题也是直接套公式就算出来
: 能请问这个性质是怎麽来的吗？
: 还是说要用大学的基统才能解释？
: 感谢
因 X 与 Y 独立, 故
P[X=x,Y=y] = P[X=x]P[Y=y], 对所有 x,y
依期望值定义:
E[XY] = Σ xyP[X=x,Y=y]
x,y
= Σ xy P[X=x]P[Y=y]
x,y
= Σ x P[X=x] Σ y P[Y=y]
x y
= E[X]E[Y]
又,
Var[X+Y] = E[(X+Y-E[X+Y])^2]
= E[{(X-E[X])+(Y-E[Y])}^2]
= E[(X-E[X])^2]+E[(Y-E[Y])^2]+2E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
= Var[X] + Var[Y] + 2E[X-E[X]]E[Y-E[Y]]
= Var[X] + Var[Y]
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