作者GSXSP (Gloria)
看板Math
标题Re: [分析] 级数和问题
时间Mon Feb 28 13:35:05 2011
如果只sum到N的话是可以
不过现在
N N
lim Σ Σ a_i b_j
N→∞ i=1 j=1
N N
= lim Σ a_i Σ b_j
N→∞ i=1 j=1
N K
?=? lim Σ a_i lim Σ b_j
N→∞ i=1 K→∞ j=1
要怎麽做呢?
对应Fubini Theorem的话条件是要
a_i b_j ≧ 0 or ΣΣ |a_i b_j| < ∞
不过我是想summation说不定不用什麽条件
可是我也不知道Fubini怎麽证的
summation的我也不知道怎麽做@@
还是说上面那个极限要怎麽处理呢?
※ 引述《jameschou (DOG)》之铭言：
: ※ 引述《GSXSP (Gloria)》之铭言：
: : ∞ ∞ ∞ ∞
: : Σ Σ a_i b_j ?=? ( Σ a_i ) ( Σ b_j )
: : i=1 j=1 i=1 j=1
: : 有要什麽条件或要怎麽证明呢@@?
: ∞ ∞
: Σ Σ a_i b_j
: i=1 j=1
: 中的a_i跟j这个变数无关
: 也就是说对於後面这段
: ∞
: Σ a_i b_j
: j=1
: 来说 a_i可以看成是常数(也就是每个b_j都乘以a_i倍)
: 因此可以把a_i提出 变成
: ∞ ∞
: Σ a_i *(Σ b_j)
: i=1 j=1
: 同理
: ∞
: Σ b_j 这整坨都跟i这个变数无关 所以可以把这整坨当常数
: j=1
: 也就是说每个a_i都要乘以这个常数倍 因此再把他往前提出
: 就会变成
: ∞ ∞
: ( Σ b_j ) ( Σ a_i )
: j=1 i=1
: 再交换一下顺序就可以得到你要的答案了!
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 218.168.28.250
※ 编辑: GSXSP 来自: 218.168.28.250 (02/28 13:40)
1F：→ doom8199 :原po应该要考虑 ΣΣa(i,j) 吧,单讨论ai*bj有点狭隘 02/28 14:00
2F：→ doom8199 :而且第一个式子要列成 limΣ{ limΣ(a_i*b_j) } 02/28 14:01
3F：→ GSXSP :喔 对耶 我列错了 这样好像ai*bj就没问题了 02/28 14:10
※ 编辑: GSXSP 来自: 218.168.28.250 (02/28 14:19)
4F：→ GSXSP :呃 不对 在我遇到的问题里的确就是我列的式子 02/28 15:13
5F：→ GSXSP :我这样列等号不会对吗? 02/28 15:14
6F：推 doom8199 :考虑两sequence{f_N}、{g_N}, (f_N,g_N)=(Σai,Σbj) 02/28 15:29
7F：→ doom8199 :等於是要证明 lim{f_N*g_N} = lim{f_N} * lim{g_N} 02/28 15:30
8F：→ doom8199 :if lim{f_N} and lim{g_N} converge 02/28 15:31
9F：→ doom8199 :微积分课本有给证明 02/28 15:32
10F：→ GSXSP :喔! 对 谢谢! 02/28 15:33
11F：→ doom8199 :我用词不当QQ, "converge" 改成 exist , 抱歉 02/28 15:38
12F：→ GSXSP :OK 我知道 02/28 15:44