作者GSXSP (Gloria)
看板Math
标题[机统] Converge in L^p norm
时间Mon Feb 28 16:51:01 2011
本来是这样:
Xn → X in L^p
Yn → Y in L^q
then XnYn → XY in L^1 for 1/p + 1/q = 1
我想问: 不要 1/p + 1/q = 1 这个条件是否也可以
例如说 p=q=1.
他证明是有用到Holder inequality
不过这样是否也可:
proof:
Case1 X = 0 and Y = 0
2
∥Xn Yn∥ ≦ ∥Xn∥ ∥Yn∥ → 0 as n → ∞
1 1 1
hence ∥Xn Yn∥ → 0
1
Case2 Xn = X for all n and Y = 0
X_M (w) = min { X(w) , M }
2
∥X_M Yn∥ ≦ ∥X_M∥ ∥Yn∥ → 0 as n → ∞ for all M > 0
1 1 1
=> Given ε> 0 exist N s.t.
2 2
∥X_M Yn∥ < ε for all n ≧ N
1
∵ | X_M Yn | → |X Yn| increasingly a.s.
=> E|X_M Yn | → E|X Yn| increasingly
∴ ∥X Yn∥ = lim ∥X_M Yn∥ ≦ lim ε = ε for all n ≧ N
1 M→∞ 1 M→∞
hence ∥X Yn∥ → 0
1
General case
XnYn - XY = (Xn-X)(Yn-Y) + X(Yn-Y) + Y(Xn-X) → 0
case1 case2 case2
Hence XnYn → XY in L^1
这样是否正确?
而且这样好像 p , q ,1 这三个数字可以换成很多别的数字?
(用math1209大贴过的 a＋b ＝ c 且 c/r ＝ a/p ＋ b/q,
c a b
∥fg∥ ≦ ∥f∥ ∥g∥ .
r p q
好像很多数字都可以，另外我想问一下这个不等式在哪里找得到或是证明阿?
a,b,c,r,p,q都要是正整数吗?)
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◆ From: 218.168.28.250
※ 编辑: GSXSP 来自: 218.168.28.250 (02/28 16:51)
1F：推 hcsoso :应该不用是正整数, r,p,q 只要是大於零的实数. 02/28 18:06
2F：推 hcsoso :然後我印象中好像如果 c = 1, a,b 必须要在 (0,1) 中 02/28 18:10
3F：→ yhliu :∥Xn Yn∥_1^2 ≦ ∥Xn∥_1 ∥Yn∥_1 成立吗? 02/28 19:28
4F：→ GSXSP :刚刚有人跟我说不成立了Orz 不等式有误QQ 02/28 20:12
5F：推 hcsoso :真的 orz 看 wiki, 似乎是 c = 1 时, p,q,r > 0, 03/01 00:25
6F：→ hcsoso :0 < a,b < 1, 满足那个等式则下面的不等式会对. 03/01 00:26