我个人觉得δ-ε对很多人来讲,当然是不好理解, 因为高中大多注重运算技巧,而不大讲究逻辑推论, 所以再碰到δ-ε叙述时,会不知道它在讲什麽, 看看δ-ε叙述定义极限: lim f(x) = v means: x->u For every ε > 0, there exist δ > 0 such that if 0 < |x-u| < δ, then |f(x)-v| < ε 如果从直觉的角度来看, 我想找出lim f(x), 似乎就是找一个u'试试看, x->u 看f(u')的值是多少,然後不断缩小u和u'的误差,观察看看 f(u')是否会向某个定值 趋近(v) 但是,数学似乎无法容忍这样不明确的叙述(??),像什麽叫做不断缩小(靠近u), 什麽叫做趋向某定值,而且真的会趋近它吗,会不会在u''< u'时,得到f(u'')>f(u') 之类,种种不确定性 所以数学家才发明出一逻辑叙述,来说明以上的问题,而发现到这样的方式, 是极具说服力的, 我不需要说明用什麽样的方式去靠近,或是有多接近,我只要(任意)给定一个和我 预期的目标(v)一个误差值(ε), 我必定可以在定义域找到一个和u距离差δ的区间, 并且在这个区间中,每一个算出来的函数值,和我预期的v,误差绝不超过, 我给订的ε 如此一来,似乎就更能肯定lim f(x) = v x->u 但其实上面的解说或许还是有诸多语病,似乎也没有把一些细节说清楚, 像: (1) 照逻辑叙述看,应该是先随便给一个ε,然後就固定了,才去看看说 δ是否存在,且要能保证,你不管ε的值是多少,逻辑叙述都要成立, every, exist的顺序应该是不能颠倒的,虽然我的直觉是,一直去 试x,找出极限值 似乎 δ 是和ε相依的, 或可说δ是ε的函数(δ(ε)) (2) if 0 < |x-u| < δ 这句话很有趣, 为什麽要大於0? |f(x)-v| < ε没有啊, 其实这就是极限有趣的地方, 观念是:我根本就不是要求f(u),而是去找f(x)在u附近的近似值, 而很多情况下是很难直接找到,真正的解答(例如:算瞬时速度) 所以我只好去逼近它 但我要的目标不是近似值啊!! 所以只好观察看看数值变化了趋势,看是否x越来越靠近u时, 会去趋向某定值,这应该是我要的答案 但毕竟不是去算f(u)(或根本无法直接求得), 所以这个大於0,要说的应该是"趋近"u但"不等於"u (3) 当 ε'< ε, 会不会出现 δ' > δ, 感觉上是不会,因为δ'起码可取为δ(从逻辑叙述) 但 δ' < δ 吗? 似乎无法确定... 以上是我目前为止对δ-ε叙述的认知,如果观念有错, 希望告诉我哪里错了,谢谢各位 ------------------------------------------------------------------------- 看了以上冗长的叙述(不管对或错),δ-ε叙述并不是一般人能够马上去了解的, 更不用说体会它的精神, 感觉上一个逻辑叙述似乎有很多细节是人类容易去忽略的,而这些忽略,在往後 很有可能造成一些解题上的麻烦,但又不可能一次注意到太多(重要)的细节, 所以个人觉得,数学上最难的好像是逻辑集合论(要辨认一句叙述的对错,需要 足够的经验和敏锐的思考) _________ __________ 所以一开始搞不懂,其实没有太大的关系 而其实数学上,也不是只有在搞定理证明,像如果学组合学的话, 有些东西实在是比较注重计算技巧(或可说是根本就在教计算技巧) Ex: Solve recurrence equation 有些着重在对问题的分析,像排列组合和机率,工具其实不是用很多, 但很重观念和分析题目 当然如果是XX分析,就是和高微差不多的样子,重逻辑思考和一些不等式的技巧 而计算理论是资工系的理论,它本身也是注重逻辑思考的 这种东西,定义定理一定要抓得很牢,否则不但习题不会作, 而且後面也有可能看不懂 以上是我对数学的认知 但我觉得看这些数学工具和定理的观点,终究会影响对数学学习结果 例如:好不好去记,好不好去了解或去举例(举反例) 所以一开始可以先不去管太细的东西,多去请教老师或大师, 会有不同的感受 --

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