作者ckchi (飘)
看板Math
标题Re: [中学] 计数问题
时间Thu Mar 3 18:19:11 2011
※ 引述《andy2007 (...)》之铭言：
: 原文出处：
: http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=11996
: 里面有提出一个问题：
: 「平面上一般位置的四条直线(一般位置即任三线不共点) 把平面分成几块？」
: 高中的排列组合大概都停在这个层次，即给一个特殊的情境，
: 我们要算满足这个情境下的集合的元素个数，这个问题的答案是11块。
我想一般位置应该还要加上一个条件
即任两线必相交 (也就是没有平行线的条件下)
: 2
: n + n + 2
: 比如上例，平面上一般位置的ｎ条直线可以把平面分成f(n) = ------------- 块。
: 2
: 请问这个公式是怎麽来的呢？
那些高深的理论我不懂，无法回答你
但以这个问题的角度来想
我觉得这个式子可以写成 f(n) = 1 + n(n+1)/2
以下解释我的想法：
试想：
如果没有线时，这个平面理所当然是 1 块
1条线时，这个平面被切成了 2 块
换言之，多出了 1 块
你可以想像成在原本的平面的边边补了一刀
(换言之，这个 2 = 1+1)
2条线相交时，这个平面被切成了 4 块
为什麽是 4 块?
和上面一样的，你可以想像成在原本的平面边边补了一刀
但不同的是，这个『边边』已经被原有的1条线切成 2 块了
所以补了一刀後多出了 2 块
(换言之，这个 4 = 2+2 = 1+1+2)
那麽，3条线相交时呢?
同样的想法，在原本的平面边边补了一刀
由於此时的边边已被原有的2条线切成 3 块
因此补了一刀後多出 3 块
换言之，共有 4 + 3 = 7 块
(即 1+1+2+3)
照这想法...
补上第 n 刀时
都会比之前多出了 n 块
换言之，共有
1 + 1 + 2 + 3 + ... + n
= 1 + (1+2+...+n)
= 1 + n(n+1)/2
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.89.133
1F：推 yueayase :当初在看一些离散数学的书时,好像有类似的,觉得这个 03/03 18:35
2F：→ yueayase :这个方法真的很不错 03/03 18:35
3F：→ ckchi :谢谢 其实我只是喜欢胡思乱想而已 运气好有答案 03/03 22:23
4F：→ ckchi :不过原po後面那些问题我就没办法回答了 03/03 22:30
5F：推 andy2007 :好方法！感谢ckchi～等等再来详细看过，再次感谢您~ 03/04 01:01
6F：推 justin0602 :请问什麽是边边 我都不懂 在哪边叫做边边补一刀 03/04 11:20
7F：→ ckchi :喔 我这边的『边边』 指得是远离已有交点的地方 03/04 16:25
8F：→ ckchi :换句话说，就是这一刀切下去 其中一边没有旧的交点 03/04 16:26
9F：→ ckchi :在没有平行/共点时 新线一定会和所有旧线分别相交 03/04 16:27
10F：→ ckchi :此时旧交点所在那一半和上一张图的数量是相同的 03/04 16:27
11F：→ ckchi :而另外一半就是我所谓『多出来』的部份 03/04 16:28
13F：→ ckchi :我画了几张图 希望能帮助了解 03/04 16:57
14F：→ ckchi :别忘了空间和线可以无线延伸的 03/04 16:58