作者bugmens (c & cpp)
看板Math
标题Re: AMC12
时间Sat Mar 5 14:21:41 2011
※ 引述《kyoooooo123 (快乐的大学生)》之铭言：
: 3.设f(z)=(z+a)/(z+b)且g(z)=f(f(z))，其中a及b为复数。若lal= 1(绝对值)且对所有
: 使得g(g(z))有定义的z都满足g(g(z))=z，则最大可能的lbl值与最小可能的lbl值之差
: 是多少？
期待更好的方法
g(g(z))=z等同於 f(f(f(f(z))))=z 用电脑叠代四次得到
http://i.imgur.com/rtpOT.gif
(....)z+(....)
-------------- = z
(....)z+(....)
将分母乘过去化简後得到
2
[(b+1)(b^2+2a+1)]z +[(b-1)(b+1)(b^2+2a+1)]z+[-a(b+1)(b^2+2a+1)]=0
题目说使得g(g(z))有定义的z都要满足,所以上式是恒等式,各系数为0
(b+1)(b^2+2a+1)=0
(b-1)(b+1)(b^2+2a+1)=0
-a(b+1)(b^2+2a+1)=0
解出b=-1或b^2+2a+1
(1)b=-1 得到|b|=1
(2)b^2+2a+1
令t=cos(t)+i*sin(t)代入
b^2=-2(cos(t)+i*sin(t))+1
_________
|b|^2=√4cos(t)+5
|b|有最大值√3,有最小值1
相差√3-1
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1F：推 kyoooooo123 :3Q让我研究一下 03/05 14:31
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