作者herstein (翔爸)
看板Math
标题Re: [代数] Hungerford代数上的习题
时间Mon Mar 7 10:17:37 2011
※ 引述《hotplushot (热加热)》之铭言：
: 先述说一个定理
: Thm
: If F is a free abelian group of finite rank n and G is a nonzero subgroup of F
: then there exists a basis {x(1),...,x(n)} of F,an integer r(1≦r≦n)
: and positive integers d(1),...,d(r) such that d(1)|d(2)|...|d(r)
: and G is free abelian with basis{d(1)x(1),...,d(r)x(r)}.
: 1.
: Let G be a finitely generated abelian group in which no element(except 0)
: has finite order.
: Then G is a free abelian group.(提示:使用上面定理)
: 我的想法:
: 第一步 建造一个abelian group F使其有basis,自然F就是自由群
: 第二步 证明G为F的子群 根据上述定理 自然G就是自由交换群
: 请问这想法对吗?
: 如果对 要怎麽更确切写出来(如果对 我觉得第一步比较难写出来)
YES. Let X={x_1,...,x_n} be a set of generators of G.
Consider F(X) and the natural map f:F(X)-> G. Apply the theorem
to ker f. Here F(X) is the free abelian group generated by X
and the map f is the epimorphism given by x_i->x_i.
: 2.
: The direct sum of a family of free abelian group is free abelian.
: 这题暂时没什麽头绪
: 请版友能给予协助 感激不尽
Can you find a basis for the direct sum? if you have a basis for
each member of the family. This is my idea but you can have different idea.
我的基础代数忘的差不多了~~所以仅供参考~~~XD
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 128.120.178.219
1F：→ yusd24 :2. 可以 apply 1. 的结果 03/07 10:30
2F：→ yusd24 :抱歉..不行XD 那只能把 basis 写出来了 03/07 10:30
3F：→ herstein :应该有别种做法啦只是我想到用基底的话应该比较简单 03/07 10:41
4F：推 hotplushot :请问大大 natural map的意思 还有C是什麽?? 03/07 15:25
※ 编辑: herstein 来自: 128.120.178.219 (03/07 16:35)
5F：→ xcycl :用「有限生成交换群基本定理」就解决了说 ... 03/07 17:22
6F：→ xcycl :有 finite order 的话，分解的群中至少有一个不是 Z 03/07 17:22
7F：→ xcycl :所以都是 G = Z^n = F1 + ... + F1 = F(1 + ... + 1) 03/07 17:23
8F：→ xcycl := F(n) 03/07 17:24
9F：→ herstein :对呀~~~我只是把这个定理给证一遍而已XD 03/07 17:39
10F：→ herstein :只是在没有finite order的case就变得很简单了 03/07 17:50
11F：→ herstein :而这个过程也的确是有限生成交换群基本定理的证明 03/07 17:51
12F：→ xcycl :嗯，只是少了 direct sum 的 quotient 部份 03/07 17:53
13F：→ herstein :因为在这情况下ker f=""XDDDDDD 03/07 17:53