作者blackpaladin (我不是研究僧)
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标题Re: [中学] 暑期奥林匹亚研习营
时间Tue Mar 8 16:22:06 2011
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之铭言：
: 无限正整数列a_1,a_2,a_3.....满足：
: 1. 对於每一个正整数k都有k|a_k
: 2.|a_(k+1)-a_k|≦5
: 请问a_1的最大可能值是多少?
无聊试一下
首先，k是A_k的因数
但是由於|a_(k+1)-a_k|小於等於5
因此A_k超过k的6倍时 会找不到A_(k+1)
例如： A_100= 600 时
A_101在[595,605]内
但是最接近的倍数是606 就掰掰了
因此，以考虑5的倍数为主要解决内容
够大的k 都会迫使A_k=5k
而且，对於A_k 前一项与後一项都在 [A_k-5,A_k+5]内
其包含的范围最多共11个正整数
只要这范围内有两个数可作为A_(k-1) 即是找解的关键
因此由A_(11)=55 开始
先确定A_(12)=60 为唯一解
接着 A_(10)=50 或 60 取A_(10)=60
A_(9)=63
A_(8)=64
A_(7)=63
A_(6)=66
A_(5)=70
A_(4)=72
A_(3)=75
A_(2)=80
因此最大的A_1=85
欢迎指正
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 163.30.174.1
1F：推 JohnMash :推 03/08 17:03
2F：推 j19951102 :可以取A_10=70，这样A_1可以取更大 03/08 17:14
3F：→ j19951102 :算错，不要理我= = 03/08 17:15
4F：推 a016258 :推推 03/08 17:28
5F：推 j19951102 :A_2 可以为80 03/08 17:33
6F：→ blackpaladin:感谢J19 03/08 17:45
以应J19大更正
※ 编辑: blackpaladin 来自: 163.30.174.1 (03/08 17:47)
7F：推 j19951102 :不过，要怎麽证明这样取出来的是最大的? 03/08 20:36
8F：→ j19951102 :可以，a_1,a_2.....a_k都为 (a_1)*(a_2)...(a_k) 03/08 20:37
9F：→ j19951102 :这样明显符合条件，这时必可以取到a_(k+1)使 03/08 20:38
10F：→ j19951102 :p*(a_k)+q*(a_k+1)=1 因为k与k+1互质 03/08 20:39
11F：推 ntnusliver :因此A_k超过k的6倍时 会找不到A_(k+1) 这句话有误 03/08 23:13
12F：→ ntnusliver :EX A_100= 9600 A_101=9595 03/08 23:13
13F：→ ntnusliver :当然我的例子继续推可以知道有误... 03/08 23:14
14F：→ ntnusliver :但... 不能保证数字小时 6的倍数以上都不行 03/08 23:14
15F：推 ntnusliver :a_11 最大仍是55 只是需要一番证明的 03/09 00:02
16F：→ blackpaladin:感谢ntnu大 03/09 09:51
虽然ntnu大给了解法
但是我还是自救 自己修一下自己的叙述
现在 设A_k=N*k 而且N大於等於6
则下一个预测可能的的A_(k+1) 与(k+1)*N有关
它是(k+1)*(N-m) 其中m为正整数 (因为(k+1)*N必定不合)
A_(k+1)落在 [A_k-5,A_k+5]时 会找到A_(k+1)
而(k+1)*(N-m)=(k+1)*N-(k+1)*m
在( (k+1)*N-(k+1) , (k+1)*N ] 都不会是A_(k+1) ---------(*)
只要取的项数k 使得k+1>N+6 ---------------------------------(**)
根据(*)的推论 并带入(**)
( (k+1)*N-(N+6) , (k+1)*N ] 都不会是A_(k+1)
这范围就会包住 [kN-5 , kN+5]
这样我就补好我的论点了 哈哈哈哈哈
※ 编辑: blackpaladin 来自: 163.30.174.1 (03/09 10:34)
17F：→ blackpaladin:不过 感觉ntnu大取的结果 恰好在范围下限 挺巧合的 03/09 10:44
18F：推 ntnusliver :请问(*) 是怎麽推得的？ 03/09 11:19
19F：→ ntnusliver :取K=11 N=11 ak=121 a_12= 120 03/09 11:20
20F：→ ntnusliver :抱歉 我看错了 我再想想 03/09 11:21
21F：推 ntnusliver :（*）弄懂了... 03/09 11:24
22F：推 j19951102 :两位的解法都很厉害，谢谢了 03/09 23:46