作者bemyself (self)
看板Math
标题[线代] 一个证明
时间Tue Aug 23 20:08:10 2011
Let A be n x m matrix and B be an m x n matrix over C.
Show that "I_n-AB is invertible if and only if I_m-BA is invertible".
是书中一例 书上用反证--
--> 假设I_m-BA 不 invertible, 去证I_n-AB 不 invertible
然後反向就同理
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那如果我用 若I_n-AB invertible 证 则I_m-BA invertible 反向同理
原本想用 [thm]:Ax=0 只有零解 iff A is invertible 去做以下:
"已知(I_n-BA) invertible, 设(I_m-BA)x=0 去推出x恒为零向量 (只有零解) 故可逆"
不知这样的路行得通吗?
我个人做的话 後来就要证Ax=0只有零解 然後就.....了 因为看起来矩阵A的资讯好少
但是因为一个matrix 可逆的 充要条件 差不多有四,五个 甚至会更多(才读一下就这样了)
所以我几乎可以相信有其它突破点
但我都试不太出来
---还是说 根本就有不一样的切入面 可以解决这问题----
所以上来请教大家
有兴趣的人都试试看 ˋ(′～‵")ˊ
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.241.190
※ 编辑: bemyself 来自: 140.112.241.190 (08/23 20:09)
1F：推 yusd24 :可以直接验证 Im+B(In-AB)^{-1}A 是 Im-BA 的 inv.. 08/23 20:59
2F：→ yusd24 :(在假设In-AB可逆的情况下) 08/23 21:00
3F：→ bemyself :我用楼上的方法证明了Im+B(In-AB)^{-1}A确是Im-BA的 08/23 21:45
4F：→ bemyself :inverse!!!但是楼上是怎麽得到Im+B(In-AB)^{-1}A的呢 08/23 21:46