作者armopen (考个没完)
看板Math
标题Re: [线代] 高斯消去法求反矩阵的原理
时间Sat Sep 3 21:00:12 2011
※ 引述《kane950544 (老伯公)》之铭言：
: 我们在高中学过
: [A|I]经过列运算可以化成[I|A^(-1)]的形式
: 所以反矩阵A^(-1)就求出来了
: 可是我一直都不晓得原理
: 自己翻书也没找到解答
: 有人可以解答我的疑惑吗? 谢谢
要回答这个问题就是在证明以下四者等价：
(1) A 可逆,
(2) Ax = 0 只有唯一解 x = 0
(3) A 可经由列运算化简为 I
(4) A 可表为有限个基本矩阵的乘积
证明： (1) => (2)
显然 x = 0 是 Ax = 0 的一组解, 命 x = y 是 Ax = 0 的另一组解,
将 A 0 = Ay 两边同乘 A^{-1} 得到 y = 0.
(2) => (3)
若 A 无法经由列运算化简为 I, 则 A 的最简列梯形矩阵 A' 至少有一列全为 0,
此时 A'x = 0 至少有一个自由变数, 迫使 Ax = 0 有无限多解, 矛盾.
(3) => (4)
因为每一次列运算皆可转成左乘一个基本矩阵，当 A 可经由有限次基本列运算
化为 I 时表示可经由左乘有限个基本矩阵将 A 化为 I, 假设这有限个基本矩阵
的乘积是 E, 则 EA = I.
(4) => (1)
因为基本矩阵皆可逆，所以有限个基本矩阵之乘积也可逆，故 A = E^{-1} 也可
逆。
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