作者dogy007 (dogy007)
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标题Re: [微积] lim sin(x)/x
时间Tue Oct 4 19:54:37 2011
首先我们 采用一般的三角函数定义, pi 为半圆周长
令 A(x) 为 角度 x 的扇形面积，我们不能使用 A(x) = x/2
因为上式的推导用到 lim sinx/x = 1(参见原 post 引用的连结)
但我们知道 A(x) 为 x 的严格递增函数 for 0 < x < 2pi
同时如果 0 < nx < 2pi, n 为自然数
则藉由分割 扇形 n 等分，我们知道 A(nx) = nA(x)
同样的 A(x/m) = A(x)/m , for 自然数 m
所以 A(nx/m) = nA(x/m) = (n/m)A(x)
也就是 A(rx) = rA(x) 对於有理数 r, 0 < rx < 2pi
对於 实数 s, 0 < sx < 2pi
对於任意, 有理数 q,r, 0 < r < s < q , 满足 0 < rx < sx < qx < 2pi
我们有 rA(x) = A(rx) < A(sx) < A(qx) = qA(x)
但这表示 A(sx) = sA(x) 对於满足 0 < sx < 2pi 的任意实数 s 成立
所以 A(x) = A((x/pi)pi) = (x/pi) A(pi)
令 b = A(pi)/pi, 则 A(x) = bx
然後利用面积比较, 我们 sinx /2 < A(x) < tanx /2
所以 sinx < 2bx < tanx
所以 2bcosx < sinx /x < 2b
所以 lim sinx /x = 2b
由此可以推导 三角函数的微分公式, (sinx)' = 2b cosx, (cosx)' = -2bsinx
然後考虑半圆周 (cost,sint), 0 <= t <= pi
计算半圆周长为
Integral_{0 to pi} sqrt( ((cost)')^2 + ((sint)')^2 ) dt
= Integral_{0 to pi} 2b dt
= 2b pi
但 半圆周长为 pi, 所以 2b =1
也就是 lim sinx/x = 1
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◆ From: 220.132.177.99
1F：推 doom8199 :大概知道想法了，多谢︿︿ 10/05 07:46
2F：→ doom8199 :另外可以请问一下若用寻常的 polygon 来逼近弧长 10/05 07:49
3F：→ doom8199 :好像还是避不开 lim sinx/x 10/05 07:50
4F：→ doom8199 :但是用弧长公式算却没这困扰，关键是因为均值定理吗? 10/05 07:50
5F：→ dogy007 :对没错，避不开 10/05 09:10
6F：→ dogy007 :关键在於 pi 的定义、弧长的定义 10/05 09:11
7F：→ dogy007 :当我们用弧长的定义来定义 pi 10/05 09:12
8F：→ dogy007 :然後又用这个来定义角度、sin x 时 10/05 09:13
9F：→ dogy007 :其实应该就 imply lim sin x /x = 1 10/05 09:14