※ 引述《suhorng ( )》之铭言： : ※ 引述《cxcxvv (delta)》之铭言： : : Suppose f is continuous on [0,1] : : Define : : 1 : : Xn = (n+1)∫x^n f(x) dx : : 0 : : Find lim Xn : : n->infinity : : 原本以为用积分中值定理就做出来了 : : 可是那个c belongs to (0,1)会depend on n : : 所以其实不能那样做 : : 那这一题要怎麽解呢? : 不知道可不可以这样写 ? : 设 |f(x)|≦K for x∈[0,1] : 及 f(x) 在 1-ε≦x≦1 的最小最大值分别为 m, M : 1 : 首先, |x_n - x_m| = |∫[(n+1)x^n - (m+1)x^m] f(x) dx| : 0 : 1 : ≦ K ∫|(n+1)x^n - (m+1)x^m| dx : 0 : 可以被选得要多小就有多小, 所以 lim x_n 存在 : n→∞ 这里的被选得多小要有多小一点也不显然，必须验证。(我很怀疑这好证) : 接着, 写 : 1-ε 1 : g(ε) = lim x_n = lim ∫ (n+1)x^n f(x)dx + ∫(n+1)x^n f(x)dx : n→∞ n→∞ 0 1-ε : 1-ε : 而 | ∫(n+1)x^n f(x)dx |≦ K(1-ε)^{n+1} → 0 当 n→∞ : 0 : 1 1 1 : m ∫(n+1)x^n dx ≦ ∫(n+1)x^n f(x)dx ≦ M ∫(n+1)x^n dx : 1-ε 1-ε 1-ε : 1 : 当 n→∞ 时, ∫(n+1)x^n dx = 1 - (1-ε)^{n+1} → 1 : 1-ε : 所以得到 m≦g(ε)≦M. 当ε→1 时 g(ε)→f(1) 这里的ㄧ个错误是为甚麽"当ε→1 时 g(ε)→f(1)"? 你用到了你要证明的东西。 : 但是因为 lim x_n 收敛, 所以 g(ε) 只是常数, 也就是 g(ε) = f(1) 你的函数f是连续函数，当极限存在时，当然g(ε)是一个定值， 然而你的方法并没有提供这个定值就是f(1)，你是用陈述的，但那 就是你要证明的。 --

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