作者suhorng ( )
看板Math
标题Re: [微积] 94生科考古
时间Tue Feb 7 16:27:42 2012
※ 引述《peanutrice (花生米)》之铭言：
: 94清大生科考古第七题
: 某一人射箭时，射中後再继续射中的机率是0.8，射不中後再继续射中的机率是0.4。
: 设第n次射中的机率是P_n，求 lim P_n = ?
: n→∞
马可夫链. 不过高中好像也有教...
[ P_n ] [0.8 0.4] [ P_{n-1} ]
[ ] = [ ] [ ]
[ 1 - P_n ] [0.2 0.6] [ 1 - P_{n-1} ]
若极限存在, 设 x = lim P_n , 於是上式两端取极限,
n→∞
[ x ] [ 0.8 0.4 ] [ x ]
[ ] = [ ] [ ] => x = 2/3
[ 1 - x ] [ 0.2 0.6 ] [ 1 - x ]
其实应该要先验证极限存在. 由递回式
P_{n+1} = 0.8 P_n + 0.4 (1 - P_n)
= 0.4 + 0.4 P_n
=> P_{n+1} - 2/3 = 0.4(P_n - 2/3)
可以解出
n
P_{n+1} = 2/3 + 0.4 ×(P_1 - 2/3)
所以极限确实存在而且是 2/3, 无论 P_1 为何.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 61.217.35.102
※ 编辑: suhorng 来自: 61.217.35.102 (02/07 16:29)
1F：推 peanutrice :大感谢!! 02/08 00:07