作者calvin4 (キャル君)
看板Math
标题Re: [线代] 线代的证明题
时间Wed Feb 8 04:53:41 2012
※ 引述《SS327 (土豆人)》之铭言：
: t t
: 题目:A为方阵，若A A=AA则A=A
: 请问怎麽证明阿???
t
手滑po一下。以下A'表示A 。
当A是2阶方阵时，这会成立。自己代a、b、c、d去验证一下就好了。
接着假设当A是n阶方阵时，A'A=AA会导致A=A'。
当A是n+1阶方阵时，将A写成[ B u ]的形式，其中B是n阶方阵，u,v是n维向量，
[ v' c ] c是纯量。
假设 [ B' v ][ B u ] = [ B u ][ B u ] ，
[ u' c ][ v' c ] [ v' c ][ v' c ]
则我们得到 B'B + vv' = B^2 + uv'…(1)
B'u + cv = Bu + cu …(2)
u'B + cv' = v'B + cv'…(3)
u'u + c^2 = v'u + c^2…(4)
接下来分两段进行。
Step 1: 证B'=B。
由(4)式知 u．u = u．v 。
将(1)式两边各乘上 u'，得 u'B'B + u'vv' = u'BB + u'uv'
=> (Bu)'B + (u．v)v' = (B'u)'B + (u．u)v'
=> (Bu)'B = (B'u)'B
=> [(Bu)'-(B'u)']B = [(Bu)-(B'u)]'B = [(B-B')u]'B = u'(B-B')'B = u'(B'-B)B = 0
=> u'(B'B-BB) = 0 对所有u都要成立。
=> B'B-BB = 0
=> B'B = BB B是k阶方阵，所以根据归纳假设，可得
=> B' = B
Step 2: 证u=v。
将(1)式同减BB，得 vv' = uv'
=> v．v = u．v = u．u （由(4)式而来）
=> v = +-u
但若 v = -u，则 v．v = u．v = (-v)．v，则 |v| = 0，则 v = 0，则u也等於0。
故一般来说，v = u。
所以当A是k+1阶方阵时，
[ B' v ][ B u ] = [ B u ][ B u ] 会imply [ B' v ] = [ B u ] 。
[ u' c ][ v' c ] [ v' c ][ v' c ] [ u' c ] [ v' c ]
请板上高手帮忙检查了。 @@
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.15.223
1F：推 SS327 :谢谢~ 02/08 11:53