※ 引述《herstein (翔爸)》之铭言： : ※ 引述《bajifox (啧)》之铭言： : : 1 : : {x_n} be a sequence of non-negative real number : : 1 : : satisfying x_(n+1) =< x_n + ----- : : n^2 : : 则x_n是否一定会收敛? : : 我猜是没有 因为Cauchy sequence的条件只有一边 : : 但是画图想找反例又觉得好像隐隐有递减= = : : 想请问该怎麽做 : n^2>n(n-1), 所以 1/n^2 <1/(n-1)- 1/n : 因此 : x_(n+1) ≦ x_n + 1/(n-1)- 1/n : 可知 : x_(n+1)+1/n ≦ x_n + 1/(n-1), : 定义数列y_(n)=x_(n+1)+1/n, n≧1。 : 则y_(n)≧1/n>0 且y_(n+1)≦y(n)， : 因此数列(y(n))递减有下界，因此收敛。因为(1/n)收敛至零， : 所以 : x_(n)=y(n)-1/n也收敛，且(x(n))与(y(n))具有相同的极限。 这结论应该可以推广到: {x_n} s.t. 1. x_n>=0 2. x_(n+1) <= x_n + e(n) 3. e(i)>0 and e(1)+e(2)+..... bounded. 原因是 取 E(n)= e(n)+e(n+1).... 则 x_(n+1) <= x_n + E(n)-E(n+1) x_(n+1)+E(n+1) <= x_(n) + E(n). : : 2 : : http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/98/98047.pdf : : (D) : : 原来想说是用反函数定理 : : 但是证完每个f'(x)都是invertible完以後却发现不太对 : : 反函数定理都只有在小小的neighborhood : : 就算做到onto(而且我好弱做不到) : : 两个neighborhood的交集的部分又该怎麽确认他们的f^(-1)是相等的 : 要证明onto，你只需证明任给一个y, f(x)=y有解。 : 等价於你考虑g(x)=f(x)-y有零根。由於f满足|f(x)-f(x')|>=C|x-x'|, : 因此g也满足。所以你现在只需要证明g(x)=0有解。 : 接下来就是接k大的作法考虑 : inf {|g(x)|:x in R^n}。 : 会这样想的理由也是在於如果存在x,使得g(x)=0，那麽自然的|g(x)|=0。 : 於是你希望研究min{|g(x)|}，但是极小值并不一定存在，但 : 保险的方法就是证明他存在，首先就是先考虑inf : : 谢谢 -- 哪一首中文歌的歌词有 Pasadena? --

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