※ 引述《smartlwj (下次再努力)》之铭言： : n 2 __ : Let Ω in R be open. Show that if there exists a function u ε C ( Ω ) : vanishing on (boundary)Ω for which the quotient : 2 : ∫ |▽u| : Ω : ---------- : 2 : ∫ u : Ω : reaches its infimum λ, then u is an eigenfunction for the eigenvalue λ, : so that △u + λu = 0 in Ω. : 上次那题已解决，谢谢帮忙的版友. : 再一次麻烦各位，请问这题应该怎麽下手呢? 如果你可以找到u使得△u + λu = 0，那麽你应该有regularity thm可以用。 △是elliptic operator。这个叫rayleigh quotient，你可以从Euler Lagrange 的角度去思考(Lagrange Multiplier): 假设|u|_L^2(Ω)=1，你等於要minimize |▽u|_L^2(Ω)^2。 这个functional的Euler Lagrange equation(Frechet derivative)就是△u 所以在加上你的constraint+ Larange multiplier thm=>△u + λu = 0 通常解这种functional的解作法都很固定 (1)你有norm bounded sequence=> Banach alaoglu thm=> weak limit exists 以本题来说:考虑inf L(u), L(u)=|▽u|_L^2(Ω)^2 则存在sequence u_k, |u_k|=1, 使得 L(u_k)->inf L(u) 接下来就是你的工作了.. (2)利用regularity证明 weak limit是你要的smooth解 --------------------------------------------- --

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