作者hjmeric (Jimmy)
看板Math
标题Re: [线代] 一题考古题
时间Wed Feb 15 16:05:22 2012
※ 引述《hjmeric (Jimmy)》之铭言：
: ※ 引述《silentsecret ()》之铭言：
: : 若A、B为n*n实矩阵，AB=BA
: : 证明A、B有一共同的eigenvector
: : 请问大家了!
: 这个应该是错的叙述
: A=[1 0] B=[0 1] AB=BA=B
: [0 1] [1 0]
: eigenvector of A={[1] [0]}
: [0] [1]
: eigenvecto of B ={[1] [1 ]}
: [1] [-1]
: 并没有共同的eigenvector，
: 这题好像是台大某一年的考题。
我上面这个反例举错了
题目如果是over R 那B=[0 -1]
[1 0]
会是反例，但是，我看那年的考古题是over C，
所以A 和B 都必存在至少一eigenvector，
假设 Bv=λv, BAv=ABv=Aλv=λAv， 所以Av也是eigenvector of B
对应的也是λ，
考虑 S=span{v,Av,...,A^(m-1)v}, dim(S)=m,
claim (A^m)v is a common eigenvector of A and B.
B的部分刚刚证过 因为 v是eigenvector，则Av也是。
(A^m)v=c_1*v+c_2*Av+...+c_m*A^(m-1)v
A(A^m)v=A(c_1*v+c_2*Av+...+c_m*A^(m-1)v)
=λ(c_1*v+c_2*Av+...+c_m*A^(m-1)v)=λ(A^m)v.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.217.1
1F：→ silentsecret:如果Av=0呢? 02/15 16:11
2F：→ hjmeric :这样v就是我们要找的，对A来说λ=0。 02/15 16:15
3F：推 jack0711 :有点奇怪耶,这样最後不就推到 λ=1 ?? 02/15 16:16
4F：→ hjmeric :为什麽λ=1? 02/15 16:19
5F：推 jack0711 :(A^m)v=λ(A^m)v => λ=1 02/15 16:21
6F：→ hjmeric :你好像少看到一个A，是A(A^m)v=λ(A^m)v 02/15 16:23
7F：推 jack0711 :看到上一行@@,SORRY 02/15 16:25
8F：→ jack0711 :为什麽可以确定dim(S)=m? 02/15 16:28
9F：→ jack0711 :循环子空间不一定FULL RANK吧? 02/15 16:30
10F：→ hjmeric :就找到最小的m就停下来，因为是有限的子空间， 02/15 16:32
11F：→ hjmeric :所以一定可以找到这样的m。 02/15 16:32
12F：→ hjmeric :其实我这题还是证错...刚刚才发现@@ 02/16 00:07