※ 引述《Zsky (slow walk )》之铭言： : ※ 引述《Zsky (slow walk )》之铭言： : : 99年中区数学第22题 : : 刘明昌微积分课本里有类似题,有解出 : : 但不懂为何这题依样化葫芦时 : : 算到第六步时卡住了... : : [题目] : : 由曲面 (X-Y)^2-Z^2=1 至原点之最短距离为何? : : [Ans] : : 1/根号2 (最近点为(1/2 , -1/2 , 0 )) : : [我的算法] : : 1. 先求X^2+Y^2+Z^2的最小值,求出後再开根号 : : 2. X^2+Y^2+Z^2 = X^2+Y^2+(X-Y)^2-1 : : 3. 先对X偏微=> 4X-2Y ,再令其为0 : : 4. 再对Y偏微=> 4Y-2X ,再令其为0 : : 5. 解联立方程得 X=0 ,Y=0 : : 6. 带回(X-Y)^2-Z^2=1 => -Z^2=1 : : 到第六步就挂了...找不到点? : : 请高手指点一下哪里出错...谢谢你!! let f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -------(1) g(x,y,z) = (x-y)^2 - z^2 - 1 = 0 --------(2) 由 g(x,y,z) = 0 的条件限制之下，可得 z^2 = (x-y)^2 - 1 带入 (1) 式，可得 F(x,y) = x^2 + y^2 + (x-y)^2 -1 然後想由 F_x = 0 与 F_y = 0 解 F(x,y) 的极值 ( F_x 与 F_y 分别表示 F(x,y) 对 x 与对 y 的偏微 ) 这里要小心的是 F(x,y) 的定义域已经不是整个 R^2 因为在 (2) 式的限制之下 (x-y)^2 = z^2 + 1 >= 1 F(x,y) 的定义域有被挖掉一些，(0,0)就不在里面了 因此 F(x,y) 的极值当然不会发生在 (0,0) 点 可能会发生在边界 (x-y)^2 = 1 上面 由几何观点来看，(1)式的极值点在(2)限制之下 会发生在 x^2 + y^2 + z^2 = c 的区面 与 (2)式的区面相切之点 如果没有相切，c 就不会是极值 df = f_x dx + f_y dy + f_z dz = 2x dx + 2y dy +2z dz dg = g_x dx + g_y dy + g_z dz = 2(x-y) dx - 2(x-y) dy - 2z dz x^2 + y^2 + z^2 = c 的切平面法向量为 (2x,2y,2z) = (x,y,z) (x-y)^2 - z^2 - 1 = 0 的切平面法向量为 ( 2(x-y),-2(x-y),-2z ) = (x-y,y-x,-z) 两个法向量平行 (x,y,z) = λ(x-y,y-x,-z) 解得 z = 0 , x = -y 以上为 Lagrange Multiplier Method 的几何看法 : 先谢谢doom8199与ejialan愿意帮我看过程 : 甚至帮我解完了...再次感谢!! : 原则上此题我已经完全清楚了... : 最後,再问一个小问题就好...不好意思!! : 刘明昌微积分里面P8-15的例题为: : =================================== : 求点(1,2,0)到Z^2=x^2+y^2之最短距离 : =================================== : 这题刘老师课本的解法就是我用的方法 : 没有使用到Lagrange就顺利解出最近点. : 而(X-Y)^2-Z^2=1这题会出错.. : 依据doom8199大与ejialan大的看法似乎是 : (X-Y)^2 = 1+Z^2 : X与Y本身是有限制的 : 而x^2+y^2=Z^2 似乎没这个问题 : 所我我想问的是.... : 1.是不是只有类似Z=根号(x^2+2y^2) : 这种X,Y没限制的曲面才能使用刘老师的方法 : 2.有限制的就只能用Lagrange : 谢谢您的解答.再次感谢 --

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