※ 引述《testishard (testishard)》之铭言： : 可否用gradient的定义证明以下这个小定理： : 如果 f 和 g 是有相同定义域 D 的 n多变数函数，且在 x 都可微。 : If g(x) ≠ 0, then f/g is diff. at x : g(x)▽f(x) — f(x)▽g(x) : and ▽(f/g)(x) = ———————————— : [g(x)]^2 : ========================以下为我的想法========================= : f(x+h) f(x) : (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ——— － —— : g(x+h) g(x) : g(x)f(x+h) － f(x)g(x+h) : = ———————————— : g(x)g(x+h) : g(x)[f(x+h) － f(x)] － f(x)[g(x+h) － g(x)] : = —————————————————————— : g(x)g(x+h) : ∵ f and g are diff. at x ∴ ∣ f(x+h) － f(x) = ▽f(x)‧h + o(h) : ∣ : ∣ g(x+h) － g(x) = ▽g(x)‧h + o(h) : g(x)[▽f(x)‧h + o(h)] － f(x)[▽g(x)‧h + o(h)] : (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ———————————————————————— : g(x)g(x+h) : [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)]‧h + g(x)o(h)－f(x)o(h) : = ————————————————————————— : g(x)g(x+h) : [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)] g(x)o(h)－f(x)o(h) : = —————————————‧h + ————————— : g(x)g(x+h) g(x)g(x+h) : ﹌﹌﹌ : ↑ 可微分的定义就是，存在线性算子T使得 |F(x+h)-F(x)-Th|/|h|-> 0, if h-> 0. 以本题来说，F(x)=f(x)/g(x), T(h)=[g(x)(▽f(x)‧h) － f(x)(▽g(x)‧h)]/g(x)^2. 既然你得到了F(x+h)-F(x)的估计，你当然可以得到 F(x+h)-F(x)-T(h) = [g(x)(▽f(x)‧h) － f(x)(▽g(x)‧h)]*(1/g(x)^2 -1/g(x)g(x+h))+... 所以重点就在於[g(x)(▽f(x)‧h) － f(x)(▽g(x)‧h)]*(1/g(x)^2 -1/g(x)g(x+h)) 的估计怎麽做。利用函数本身的连续性，你可以估计(1/g(x)^2 -1/g(x)g(x+h)) 再利用科西不等式，你可以估计整个 [g(x)(▽f(x)‧h) － f(x)(▽g(x)‧h)]*(1/g(x)^2 -1/g(x)g(x+h)) 然後就得到可微的结论，并且微分等於你要的。 并且T=▽F。 : 这个要怎麽办 ? : 後面那一陀东东很容易证明是 o(h)，但是前面的那一陀东西要怎麽处理 : 很明显不符合可微的定义。若将前项分母的g(x+h)改写成〔g(x) + [g(x+h)－g(x)]〕 : 代入後只会将整个式子搞得更恶心，且似乎也无法凑出所要证的东西… : 这个问题已经困扰我一个晚上，害我失眠了… : 有没有哪个好心的神人可以解惑一下，谢谢！ : 感激不尽 --

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