作者air11 (拿出一张白纸...)
看板Math
标题[代数] 几题Field
时间Thu Jun 7 05:51:19 2012
大家早~
小弟我想了几题体论的题目好几天了，但有些还是有问题，所以想请教各位大大
1. Let F be a field, and let α be an elemant that generates a field
extension of F of degree 5. Prove that α^2 generates the same extension
这题我的想法是，因为F(α)会比F(α^2)大，所以直接用乘法公式
[F(α):F] = [F(α):F(α^2)][F(α^2):F] = 5
所以[F(α):F(α^2)] = 1 or 5
如果[F(α):F(α^2)] = 1，则可以推到 F(α) = F(α^2)
如果[F(α):F(α^2)] = 5，则[F(α^2):F] = 1
再来就没什麽头绪了....
2. Let α & β be complex roots of irreducible polynomials f(x) and
g(x) in Q[x]. Let K=Q(α) and L=Q(β). Prove that f(x) is irreducible
in L[x] iff g(x) is irreducible in K[x] (Q是有理数)
这题应该只要会证一边就够了，感觉另外一边的证法一样。
如果是证(=>)，我想说用反证法，假设g(x) 在K[x]可分解
因此可以写成g(x) = p(x)h(x) with p(α)=0
因为g(β)=0，所以g(x)在 L[x]可分解
可是我要怎麽从中得到矛盾？是从p(x)的选取着手吗??
3. Which subfields of C are dense subsets of C ？ (C是复数体)
这题就真的不知道该怎麽写了QQ
请求各位大大的帮忙~~谢谢各位大大 > <
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◆ From: 180.177.113.19
1F：→ OoYAYoO :ㄜ.F(α):F(α^2)] = 5，则[F(α^2):F] = 1是不可能 06/07 08:54
2F：→ OoYAYoO :因为这样的话 F(α)会变quadratic extension of F 06/07 08:55
3F：→ OoYAYoO :第二题可以考虑Q(α,β)和它们OVER Q 的degree 06/07 08:57
4F：→ OoYAYoO :考虑[Q(α,β):Q(α)][Q(α):Q]和 06/07 08:59
5F：→ OoYAYoO :[Q(α,β):Q(β)][Q(β):Q]在两种情况的时候 06/07 08:59
6F：→ OoYAYoO :第三题我觉得是Q(i).. 06/07 09:00
7F：→ air11 :第一题我在想能不能写[F(α^2):F] = 1 implies 06/07 19:22
8F：→ air11 :F(α^2)=F，可以得到α^2会属於F，但是α不属於F而 06/07 19:24
9F：→ air11 :得到矛盾？ 第三题是不是可以用高微dense的概念呢?? 06/07 19:24
10F：→ air11 :还是能否请O大提供想法? 06/07 19:25
11F：→ OoYAYoO :第一题可以 这样[F(α):F]要等於二 06/07 22:20
12F：→ OoYAYoO :第三题在Q(i)里的元素有a+bi的形式 a,b是有理数 06/07 22:21
13F：→ OoYAYoO :应该可以证明它会是C的 dense subset 06/07 22:22
14F：→ air11 :第一题懂了~第三题我在翻一下高微课本，感谢O大 :DD 06/07 23:40