※ 引述《craig100 (不要问,很‧恐‧怖)》之铭言： : 1.f(x)={(x^α)sin(1/x) x≠0 : { 0 ,x=0 : 试决定α之范围 使f的二阶导函数处处连续. : 想法:微分微两次 用连续的delta-epsilon去证 : 可是微完发现超丑 不知道有没有其他方法? 这题很没有想法=..= 这是基本应用微分定义的问题 f(x) = {g_1(x) x≠0 {f(0) x=0 利用分段函数分别求出导函数在此二区域的函数行式及值 x≠0用一般函数微分 x=0采用f'(0) = lim [g_1(x)-f(0)]/(x-0) x→0 两种值必须相等才保证函数处处连续 但是f'(x), f"(x)在x=0都要特别小心 g_1'(x)和g_1"(x)的三角函数项必须配上x的指数项 用夹挤定理分别对g_1'(x),g_1"(x),f'(0),f"(0)限制α的条件 取交集就得到结果 : ∞ : 2.f(x)=exp(x^2)*∫ exp(-t^2)dt : x : 试求(1)lim f(x) (2)f'(x) (3)试证f在(0,∞)递减 : x→∞ : 作法: (1)对 : (2) ∞ ∞ : exp((x+h)^2)*∫ exp(-t^2)dt - exp(x^2)*∫ exp(-t^2)dt : f(x+h)-f(x) x+h x : lim ----------- = lim--------------------------------------------------- : h→0 h h→0 h : x : d/dh [ (√π)/2 -∫ exp(-t^2)dt) ] : 0 : ↑他是 : ∞ ∞ : 2(x+h)exp((x+h)^2)*∫ exp(-t^2)dt +exp(x^2)(d(∫exp(-t^2)dt)/dh) : L x+h x : (0/0) = lim ---------------------------------------------------------------- : h→0 1 : ∞ : =2xexp(x^2)∫exp(-t^2)dt -1 : x 到以上这一步就可以了，题目本身积分式也没有求出来 : 解到这我超兴奋 因为我得到f'(x)=2xf(x)-1 : 然後解微分方程 : [exp(-x^2)*f(x)]' = exp(-x^2) : => f(x)= exp(x^2)∫exp(-x^2)dx 等等..... 这不就回到题目了吗 囧 微分方程本来就是求解微分的反运算 如果回头解微分方程(含initial condition)得到的不是原函数 那才有问题 (3)才是重点 以下讨论的x > 0 ∞ 令F(x) = ∫exp(-t^2)dt > 0 , F(0) = √π /2 x F'(x) = -exp(-x^2) < 0 , F"(x) = 2xexp(-x^2) > 0 (x > 0) 又F"(x) = -2xF'(x) > 0 f(x) = -F(x)/F'(x) f'(x) = 2xf(x) - 1 = -[2xF(x) + F'(x)]/F'(x) = [-1/F'(x)]G(x) G(x) = 2xF(x) + F'(x) G(0) = -1 , G'(x) = 2F(x) + 2xF'(x) - 2xF'(x) > 0 类似(a) lim G(x) = 0 x→∞ 所以G(x) < 0 => f'(x) < 0 因此f(x)在(0,∞)严格递减 : 然後就卡关了 所以第2小题和第3小题都作不出来 : 感谢各位高手指点......!! --

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