※ 引述《Heaviside (Oliver)》之铭言： : 因为有板友会寄站内信询问 : 究竟什麽是Heaviside cover-up method (覆盖法) : 索性乾脆发一篇 来做介绍 : 希望能帮助到 需要用到此法的板友 : ---- : *本文参考 工程数学(上) 第五版 P45 喻超凡着 : Heaviside 覆盖法 : 又称为Heaviside 手遮法 : 是解部分分式展开法时 很好用的一个技巧 : 当然 并非所有部分分式 皆可使用覆盖法求解 : 以下分成几个Case做介绍 : Case 1 :分母为(x-a)型 (a为任意有理数，n为正整数) : 3x+2 A B : ex: ───── = ──── + ──── -----(1) : (x-3)(x-5) x-3 x-5 : 求A，用手把等号左边的(x-3)遮住，其余部分x用3代 : 3*3+2 11 : 可得 ──── = -─── : 3-5 2 : 同理可得 B= 17/2 : A、B代回 (1)式可得解 补一下原因 F(s) A 令 ─── = ─── + W(s), G(s) = (s-a)*r(s) G(s) s-a 同乘以 s-a F(s)*(s-a) F(s)*(s-a) F(s) ────── = A + W(s)*(s-a), ────── = ─── = A + W(s)*(s-a) G(s) (s-a)*r(s) r(s) 所以 s 用 a 代入可得 A : Case 2 : 分母出现(x-a)^n 型 : 3x+2 A B C : ex: ────── = ──── + ──── + ───── : (x-3)(x-5)^2 x-3 x-5 (x-5)^2 : 此case遇到重复因子 : 可用覆盖法先求分母次方数最高者 : 求A，同case 1 : 3x+2 │ : 可得 A= ───── │ = 11/4 : (x-5)^2 │x=3 : 求C，同case 1 : 3x+2 │ : 可得 C= ──── │ = -17/2 : x-3 │x=5 : 再将A、C代回原式 : 3x+2 11/4 B -17/2 : 可得 ─────── = ─── + ─── + ──── : (x-3)(x-5)^2 x-3 x-5 (x-5)^2 : 欲求B 有两种解法 : : 法一 使用移项法： : 11/4 17/2 : 将 ──── - ───── 移到等号左边并化简後，两端相乘(x-5)可得B : x-3 (x-5)^2 : 超烦 另解 : 法二 使用代值法 : 随便找一个你高兴的数字代进去，以分母不会出现0为原则 : 2 B : 本题我选择代0 可得 ──── = -11/12 + ─── - 17/25 : -75 -5 : 移项可得B 补一个法三 使用微分法 : m G(s) = (s-a) * r(s) F(s) A1 A2 Am 令 ─── = ─── + ─── +...+ ─── + W(s) G(s) s-a 2 m (s-a) (s-a) m 同乘以 (s-a) m F(s)(s-a) m-1 m-2 m ────── = A1(s-a) + A2(s-a) +...+Am-1(s-a) + Am + W(s)(s-a) G(s) m F(s)(s-a) 令 Q(s) = ────── G(s) 1 Am = Q(a), Am-1 = Q'(a), Am-2 = ── Q''(a)... 2! m-1 │ 1 d │ A1 = ─── * ─── Q(s) │ (m-1)! m-1 │ ds │s = a : ※若遇到最高次方数为三次方，一样用覆盖法先求得分母最高次方者 : 其余两未知数 再行使用代值法or移项法求解 : : Case 3: 分母出现 [(x-a)^n +b]型 : 3 A : ex: ───────── = ──── + E(x) : (x-1)[(x+1)^2 +1] x-1 : 此Case 较麻烦 故使用E(x)取代之，等回再来解 : 3 │ : 求A，使用覆盖法 可得 A= ────── │ = 3/5 : (x+1)^2 +1 │x=1 : 3 x+3 : 代回整理得 E(x) = - ─ ─────── : 5 [(x+1)^2 +1] : 再将E(x) 代回原式可得解 : 另解 : A Bx+C : 令原式= ──── + ───── : x-1 (x+1)^2 +1 : 先解A，使用覆盖法得解 : 再求B、C 使用代值法 : 因有两个未知数 需使用两次代值法 : 一样是凭直觉随便选两个数字，以分母不为0为原则 : --- : 以上 是求解部分分式展开法时 : 常见的三种Case : 如有出现其他类型的部分分式 : 欢迎将题目拍照上传後 以推文方式回复 : 若是小弟我能力范围内 会再帮忙解题^^ -- 肝不好 ▁▁ ● ◤ 肝若好 人生是黑白的 ▏ ◤ 考卷是空白的 ▏ ◤ 、 ﹐ ● ●b 囧 ▎ ●> ● ◤ ▌ ﹍﹍ ０ ▊囧＞ 干... ▲ ■┘ ■ ▎ ■ █◤ ▌ ㄏ▋ ︶■ 〈﹀ ∥ ▁▁∥ ▎ ﹀〉◤ ▋ ▊ 〈\ ψcockroach727 --

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