作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
标题Re: [中学] 复数的极式
时间Tue Oct 17 14:58:13 2023
※ 引述《hiu (闭门造爱)》之铭言：
: w = cos36度 + i sin36度
: 求 (1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)=?
: 我的作法:
: 因为 w^5 = -1
: 乘开整理 经过一连串的计算 变成(w^3 + w^7) + (w^4 + w^6)
: 上式虚部刚好消掉 变成 -2(cos36度 + cos72度)
: 得到答案 负根号5
: 但如果没有背cos36度 与 cos72度
: 这题後面就很麻烦
: 请问有没有复数极式的做法 不需要背cos36度 与 cos72度
: 来做这题呢?
显然w^10 = 1
(x - w)(x - w^2)...*(x - w^9) = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^9)
(1 - w)(1 - w^2)...*(1 - w^9) = 10
=> (1 - w^5)|(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)|^2 = 10
=> |(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)|^2 = 5
又
(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)
= (w + w^4)(w^2 + w^3)
= -(1/w^2 + 1/w + w + w^2) < 0
所以(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4) = -√5
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1F：推 kh749 : x^10-1的因式分解(x-1)(x-w)(x-w^2)…(x-w^9)。1+x^ 10/17 16:31
2F：→ kh749 : 2+…+x^9的因式分解如原po所述，因式分解是恒等式， 10/17 16:31
3F：→ kh749 : 对於任意x, 等号左右永远相等。所以当x=1时，左右亦 10/17 16:31
4F：→ kh749 : 相等。 10/17 16:31