作者oyasmy (oyasmy)
看板Math
标题[微积] 连锁律的证明
时间Thu Dec 5 10:43:14 2024
在Stewart的书中 连锁律证明的上半部分是这样
https://math.stackexchange.com/questions/2621170/chain-rule-proof-is-a-bit-unclear-what-is-epsilion-in-this-proof
而下半部分就是
u=g(x)在a可微 y=f(u)在b=g(a)可微
Δu=[g'(a)+ε1]Δx
Δy=[f'(b)+ε2]Δu
Δy=[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1]Δx
Δy/Δx=[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1]
当Δx->0 ε1->0且ε2->0
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1]
=f'(b)g'(a)=f'(g(a))g'(a)
证明的下半部是简单的 但是上半部是令人困惑的
我的问题和连结的原po不一样
我的问题有二点
1.为什麽可以在Δx=0的时候 定义ε=0
我知道当Δx=0 ε=0/0-f'(a)=没有定义
但是为什麽可以去定义它的值?一个函数的值不是应该要证明出来吗?
定义不就是我想要它多少就多少 这是可以的吗?
2.这个证明有必要知道ε=0(当Δx=0)吗?
我觉得我只要知道lim(Δx->0)ε=0就好 至於Δx=0时 ε的值是多少
根本就不重要吧?
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1F：推 arrenwu : 一个函数的值不是应该要证明出来吗 <--- 不是 12/05 12:34
2F：→ arrenwu : 函数的值就是定义出来的，只是你随便乱定义的函数 12/05 12:34
3F：→ arrenwu : 通常很难用 12/05 12:34
我以为函数应该是要denote出来的 而不是define出来的
也就是函数应该是要用本来就有的变数组合出来
而不是无中生有创造出来 大概是我哪里有误解吧
4F：→ Ricestone : 你这里的ε就是定义成这个样子，然後再补上0成为 12/05 12:40
5F：→ Ricestone : 连续函数 随便定义的函数还不一定在0补上函数值0 12/05 12:41
6F：→ Ricestone : 就会变成连续的 12/05 12:41
7F：→ Ricestone : 这边补上的这个0很重要，因为你下半部份就是要直接 12/05 12:42
8F：→ Ricestone : 代入0时的值，而不是用极限值 12/05 12:42
※ 编辑: oyasmy (61.61.28.165 台湾), 12/05/2024 13:00:27
9F：推 arrenwu : 你那个denote 是什麽意思？ 12/05 13:02
10F：→ Ricestone : 我好像说错了，重点不是代入的值，而只是想要连续 12/05 13:04
11F：→ Ricestone : 就像今天如果有f(x)=x，g(x)=x^2，h(x)=g/f for x 12/05 13:09
12F：→ Ricestone : 不等於0 应用上这h其实几乎就等於x，补上0就可以令 12/05 13:11
13F：→ Ricestone : 写法变得很简洁 12/05 13:11
14F：→ oyasmy : denote就是你看那个连结，蓝色萤光笔覆盖的地方，它 12/05 13:24
15F：→ oyasmy : 的epsilon就是写denote 12/05 13:25
16F：推 arrenwu : 那跟define有什麽不一样？ 12/05 13:34
17F：→ oyasmy : define好像是强制创造一个新规则的意思 12/05 13:42
18F：→ oyasmy : 请教R大，连续对这个证明的必要性是什麽？ 12/05 13:44
19F：推 arrenwu : 我想确认一下：你现在是在问关於chain rule的证明 12/05 14:05
20F：→ arrenwu : 方式 没错吧？ 12/05 14:05
21F：→ Ricestone : 就很单纯下面根据连续的定义，lim(ε)=ε(0)=0 12/05 14:26
22F：→ Ricestone : 因为你在建构ε时已经建好了连续性，之後就不用再 12/05 14:27
23F：→ Ricestone : 补叙述什麽东西了 12/05 14:27
24F：→ oyasmy : 回a大，对 12/05 14:34
25F：→ oyasmy : 想过之後确实函数是define出来的，然後未定义点如果 12/05 15:51
26F：→ oyasmy : 是个洞，补上那个洞也不违反函数一对一的规则，感谢 12/05 15:52
27F：→ oyasmy : a大和R大的解释 12/05 15:52
28F：推 ERT312 : 这个证明ε1跟ε2在Δx=0时都可以不用定义 12/05 16:09
29F：→ ERT312 : 唯有ε2在Δu=0必须定义，但也不必然要定义成0 12/05 16:10
30F：→ ERT312 : 然定义成0可以使证明简单一点 12/05 16:11
31F：→ ERT312 : ^当 12/05 16:11
32F：→ oyasmy : 我的想法是，对於一个普通的函数的一个普通的点，若 12/05 17:42
33F：→ oyasmy : delta x>0时epsilon>0,则当delta x<0时epsilon<0,这 12/05 17:42
34F：→ oyasmy : 过渡的期间会有delta x=0的时候，所以epsilon若在de 12/05 17:42
35F：→ oyasmy : lta x=0时不连续会很奇怪 12/05 17:42
36F：推 Vulpix : 如果不是ε，x, f(x)同号而f(0)不是0，不会很奇怪 12/05 17:53
37F：→ Vulpix : 。先後次序要理清楚。 12/05 17:53
38F：推 arrenwu : 不如你发一篇文章说明你如何证明chain-rule? 12/05 19:05
39F：→ oyasmy : 欸...我不会自己证 12/05 20:25
40F：→ oyasmy : 不过我认为E大的说法是正确的 但是这样的话 12/05 22:23
41F：→ oyasmy : ε好像没有连续性的必要 12/05 22:24
42F：→ Ricestone : 就是後续能写比较简单而已，没有影响到chain rule的 12/05 22:52
43F：→ Ricestone : 条件 12/05 22:53
44F：推 deathcustom : 等等，从导数定义你怎麽会得到它不是0？你可以想一 12/05 23:22
45F：→ deathcustom : 下 12/05 23:22
46F：推 deathcustom : 如果原函数在某定义域内某点可导，在该点上怎麽定义 12/05 23:25
47F：→ deathcustom : 导函数的？ 12/05 23:25