※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之铭言： : 在Stewart的书中 连锁律证明的上半部分是这样 : https://math.stackexchange.com/questions/2621170/chain-rule-proof-is-a-bit-unclear-what-is-epsilion-in-this-proof : 而下半部分就是 : u=g(x)在a可微 y=f(u)在b=g(a)可微 : Δu=[g'(a)+ε1]Δx : Δy=[f'(b)+ε2]Δu : Δy=[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1]Δx : Δy/Δx=[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1] : 当Δx->0 ε1->0且ε2->0 : dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(b)+ε2][g'(a)+ε1] : =f'(b)g'(a)=f'(g(a))g'(a) : 证明的下半部是简单的 但是上半部是令人困惑的 : 我的问题和连结的原po不一样 : 我的问题有二点 : 1.为什麽可以在Δx=0的时候 定义ε=0 : 我知道当Δx=0 ε=0/0-f'(a)=没有定义 : 但是为什麽可以去定义它的值?一个函数的值不是应该要证明出来吗? : 定义不就是我想要它多少就多少 这是可以的吗? : 2.这个证明有必要知道ε=0(当Δx=0)吗? : 我觉得我只要知道lim(Δx->0)ε=0就好 至於Δx=0时 ε的值是多少 : 根本就不重要吧? x,y,u这些变量，与f,g函数以及a,b两定值 这些符号都沿用旧有定义 Define Δu = g(a+Δx)-g(a) (1) Δy = f(b+Δu)-f(b) (2) Δu,Δy可以看作变数，也可以看作函数 Δu是Δx的函数，因为g与a皆fixed Δy是Δu的函数，从而(Δy。Δu)是复合函数 (Δy。Δu)(Δx):=Δy(Δu(Δx)) Denote ε1 = Δu/Δx - g'(a) (3) ε2 = Δy/Δu - f'(b) (4) define与denote有时候几乎没有差别 这里作者用denote大概是觉得 Δx,Δu,g'(a)这些都已存在(定义好了) 现在我们只不过把 Δu/Δx - g'(a) 用ε1表示而已 ε1与ε2可以看成变数也可以看成函数 ε1是Δx的函数 ε2可以看成Δu的函数，此时Δu是独立自变数 (例如当我们只考虑f在b点可微时) ε2也可以看成Δx的函数 (例如考虑chain rule时，先让ε2符号overloaded) 至於要不要定义ε1(0)=0 无关紧要 不做定义或随意定义皆可，因为接下来的证明用不到ε1(0) 但ε2(Δu=0)必须定义，让ε2在Δu=0点连续有好处 不连续的话也可以证明，稍微麻烦一点 为何ε2(Δu=0)可以随意定义? 由(4)式 => Δy = (f'(b)+ε2)Δu (5) (5)式让Δu=0可得Δy=0，并不违反(2)式 此时ε2(Δu=0)定义为何值(5)式皆成立 而chain rule考虑的仅是Δx,Δu,Δy的关系 因此ε2(Δu=0)怎麽定义皆可 由(3)式 => Δu = (g'(a)+ε1)Δx (6) 由(5)(6)二式 => Δy = (f'(b)+ε2)(g'(a)+ε1)Δx (7) 因Δx≠0 (7)式 => Δy/Δx = (f'(b)+ε2)(g'(a)+ε1) 先让两边取极限 lim Δy/Δx =? lim (f'(b)+ε2)(g'(a)+ε1) Δx→0 Δx→0 =? (f'(b)+lim ε2(Δu(Δx)))(g'(a)+lim ε1(Δx)) Δx→0 Δx→0 lim ε1(Δx) = 0 没问题，因为由(3)式以及g在a点可微可马上得出 Δx→0 所以关键在 lim ε2(Δu(Δx)) =? 0 (8) Δx→0 先插播一个定理 Thm:若函数f在a点的极限存在且等於L 函数g在L点连续,则 lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(L) x→a x→a 所以若ε2在Δu=0连续，(8)式的问号就可以拿掉了 从而可以证明chain rule，课本的证明至此结束 以下说明ε2在Δu=0不连续也可以证明chain rule 先把chain rule 用另一种形式写一遍 dy/dx = (dy/du) (du/dx) Δy/Δx = (Δy/Δu)(Δu/Δx) (Δx,Δu≠0) Δx不等於0没问题，问题出在Δu有可能等於0 这也是chain rule 的证明没有想像中简单的原因 否则两边取极限就是chain rule了 所以我们先考虑这种情况 若函数Δu在0的邻域内(可以不包含0)都不等於0 则(8)式也会成立 用数学一点的语言写就是若 存在δ>0 for all Δx s.t. 0<|Δx|<δ => Δu(Δx)≠0 则(8)式成立 而否定上述情况的Δu即为 For all δ>0 there exists a Δx s.t. 0<|Δx|<δ and Δu(Δx)=0 此时可证明若g'(a)存在必等於0 因此不用管(8)式的极限是否存在 因为ε2在0的某邻域有界，而 (g'(a)+lim ε1(Δx))=0 Δx→0 从而 lim Δy/Δx = 0 = f'(b)*(g'(a)=0) Δx→0 --

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