作者ginstein (迈向学术之路)
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标题[其他] 如何看无穷，自然数列下，观点有哪些？
时间Tue Sep 30 08:52:39 2025
[无穷数列的尽头是什麽？]一文中，利用自然数数列 {1, 2, ..., n} 的增长过程，
区分潜无穷、实无穷、超无穷，说明无穷概念演进。
本文加入无(穷X)限序数观点进行比较，其中有限结界（有限屏障、有限壁垒，
barrier of finiteness）的概念，符号 ||（简化时 ‘|’），
有助形式化无穷观点，区别异同之处。
本文只论自然数增长过程的数列，以下描述数列时，省去形容词「自然数」。
潜无穷（有(穷X)限观）：
有限数列 {1, 2, ..., n} 的项数 n 可无限增大（潜无穷），
但永远有限（有(穷X)限观）。
有(穷X)限观者（有限主义者）只认可有限数列的存在。
永远存在 n 之後的自然数 n+1，n+2，...。
实无穷（实(穷X)限观）：
有限数列 {1, 2, ..., n} 的极限，是无穷数列 {n} = {1, 2, ..., n, ...}，
包含了全部标准的、有限大自然数，
起点为 m 的无穷数列 {m, m+1, ...} 极限为空数列。
也可表示为 {n} = {..., n, ... |} = {..., n, ... ||ψ}，ψ 代表空项。
标准数学采用实无穷观点，是触及有限结界的实(穷X)限观。
无(穷X)限序数（序数观）：
实无穷、有限结界後，可利用序数和有序数列等价性，
和後继概念定义无穷序数。参考 [Ordinal number (wiki)]，本文改写为
n ↔ {1, 2, ..., n}，w ↔ {..., n, ... |}，
w + 1 ↔ {..., n, ... || w + 1}，
w + 2 ↔ {..., n, ... || w + 1, w + 2}，
2 w ↔ {..., n, ... || w + 1, w + 2, ... |}，
依此类推，w^2 ↔
{..., n,... || (w + 1, ... |)，(2w + 1, ... |)，...，(n w +1，... |)，... |}，
更进一步能得到 w^3，w^n，w^w，w^w^w，w^w^w^...，
甚至产生更多新类型序数，包括不可数序数。
[布拉利-福尔蒂悖论]断言「所有序数的集合」会导致矛盾。
超无穷（超(穷X)限观）：
数列 {1, 2, ..., n} 趋向无穷时超越有限结界，
延伸出超无穷数列 {n^*} = {|..., n^*, ...}，
全无穷数列为 {n || n^*} = {..., n, ... || ..., n^*, ...}，
其中足标 n 是有限自然数，称足标 n^* 为超(穷X)限自然数。
超(穷X)限观下，无穷数列的尽头还是无穷数列，
在结构上自我相似，概念上闭环。
因结构自我相似，无穷数列的尽头是无穷数列，
类似无(穷X)限序数观点，全无穷数列可以进行如下拆解：
{..., n, ... ||..., n^*, ...}
= {..., n, ... || ..., n’, ... | ..., n^**, ...}
= {..., n, ... || ..., n’, ... | ..., n’’, ... | ..., n^***, ...}
= {..., n, ... || ..., n’, ... | ..., n’’, ... | ..., n’’’, ... | ...}
↔ {..., n, ... || w + 1, ... | 2w + 1, ... | 3 w +1，... | ... }。
对比布拉利-福尔蒂悖论，超无穷观点概念上闭环，
难以简明说清的层面上，似乎复现了潜无穷与实无穷的观点差异。
两种观点有所类似但不等价，因非本文目标，异同程度暂不细究。
本文利用自然数数列 {1, 2, ..., n} 的增长过程，
区分潜无穷（有(穷X)限观）、实无穷（实(穷X)限观）、
无(穷X)限序数（序数观）及超无穷（超(穷X)限观）。
数学世界中的无穷有许多种，每个人都有自己认知的那一种。
对於如何看无穷，你有什麽看法？
无穷数列的尽头是什麽:
https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250921/无穷数列的尽头是什麽？
Ordinal Number:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
布拉利-福尔蒂悖论:
https://en.wikipedia.org/wiki/Burali-Forti_paradox
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At the end, it never ends.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 219.69.12.24 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1759193600.A.A32.html
1F：推 wrvuxci : 你说的全无穷跟w^2有不同吗 09/30 10:12
2F：→ ginstein : w大多递回几次， w^ w 之上，甚至不可数也可以 09/30 10:36
3F：推 wrvuxci : 有点难评论，我是觉得这些直觉的概念跟严格化的数学 09/30 11:40
4F：→ wrvuxci : 比较的时候，其实你很难确定到底是不是在讲同一个东 09/30 11:40
5F：→ wrvuxci : 西。如果严格化的理论那边可以证出违背直觉的，那你 09/30 11:41
6F：→ wrvuxci : 可以确定说这两个不一样，但除此之外，其实很难说 09/30 11:42
7F：→ wrvuxci : 也许一切看起来很符合，但只是那个违反直觉的定理还 09/30 11:44
8F：→ wrvuxci : 没证出来 09/30 11:44
谢 w 大反应，重看发现有些跳步，正文重新补上自相似展开过程，应该好懂些。
另外符号规则都没规定说明下，会怀疑符号表示的意义和标准数学是否一致？正常反应。
不过如果没规定没说明都能看懂，这符号表达方式也达到预期目标，省下很多论述。
和严谨数学相同不相同？这疑问是否有解？或许可以等看看其他人反应。
※ 编辑: ginstein (219.69.12.24 台湾), 09/30/2025 21:43:14
9F：推 wrvuxci : 目前来看是那个"…"是指什麽不是很明确 09/30 22:22
10F：→ wrvuxci : 全无穷那个地方。这样问好了，你觉得这里所提的这些 09/30 22:23
11F：→ wrvuxci : 不同的无穷观，那些集合是well-ordered set吗 09/30 22:24
12F：→ wrvuxci : 如果是的话那它是应该等价於某个ordinal number 09/30 22:35
13F：→ wrvuxci : 只是这个ordinal number有可能很大，它也许不可数也 09/30 22:35
14F：→ wrvuxci : 不一定能用ordinal arithmetic (w^2,w^w,...)表示 09/30 22:36
15F：→ ginstein : ... 的确有妙用，不过核心是，多个，可数个，甚至 10/01 13:27
16F：→ ginstein : 不可数个无穷数列接在一起，看成一个。一即全部。 10/01 13:27
17F：→ ginstein : 集合论先不说了，不是目前重点，数列才是重点。 10/01 13:28
18F：推 wrvuxci : 是可以，不过如果严格化就很容易进入原有的理论，数 10/03 21:13
19F：→ wrvuxci : 列的index本身就是集合 10/03 21:13
20F：→ wrvuxci : 传统数列在集合论就是一个定义在自然数集上的函数 10/03 21:14
21F：→ wrvuxci : 那这些不同观点的无穷数列很容易被联想成定义在一个 10/03 21:39
22F：→ wrvuxci : 比自然数大的集合上的函数 10/03 21:40
23F：→ wrvuxci : 然後这个集合上好像有个自然的order(例如2w+1<3w+1) 10/03 21:43
24F：→ wrvuxci : 我不是要说它就是这样，我也没办法说它是怎样，因为 10/03 21:44
25F：→ wrvuxci : 目前没有严格化，只是这是很自然的联想 10/03 21:44
如果说，标准数理逻辑不够用，需要更新公理体系，信吗？
※ 编辑: ginstein (218.35.189.25 台湾), 10/04/2025 19:59:58
26F：→ ginstein : 修正一下，标准ZFC公理系统不够用。 10/04 20:58
27F：推 wrvuxci : 那是一种可能，在严格化前我没有什麽相信或不相信 10/04 23:26
28F：→ ginstein : Nice! 拿出桌子，椅子，啤酒杯，准备开派对！ 10/05 13:39
※ 编辑: ginstein (218.35.189.25 台湾), 10/07/2025 09:51:01