课程名称︰偏微分方程式一 课程性质︰数学系选修 课程教师︰夏俊雄 开课学院：理学院 开课系所︰数学系 考试日期（年月日）︰2016/12/01 考试时限（分钟）：50 试题 : 1. (50 points) Suppose $f(x, t) \in C^2_1(\mathbb R^N \times (0, T])$ has a com- pact support in $\mathbb R^N \times (0, T]$. Show that the function \[u(x, t) := \int_0^t\int_{\mathbb R^N} \phi(x-y, t-s) f(y, s) dyds\] solves the nonhomogeneous heat equation \[u_t = \Delta u + f(x, t),\] where φ is the heat kernel. 2. (50 points) Consider the following one dimensional wave equation \[\begin{cases} u_{tt}-u_{xx} = 0, & (x, t) \in (0, 2) \times (0, 100),\\ u_t(x, 0) = x^3(x-2)^3, & x \in [0, 2],\\ u(x, 0) = x^5(x-2)^3, & x \in [0, 2],\\ u(0, t) = u(2, t) = 0, & t \in [0, 100]. \end{cases}\] Use the idea of extension to compute u(1/3, 1) and u(5/3, 2). 3. (20 points) What is the most exciting common property that the boundaries of one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional manifolds enjoy? (Don't think it in a mathematical way. Not even try to answer this question by English.) -- 第01话 似乎在课堂上听过的样子 第02话 那真是太令人绝望了 第03话 已经没什麽好期望了 第04话 被当、21都是存在的 第05话 怎麽可能会all pass 第06话 这考卷绝对有问题啊 第07话 你能面对真正的分数吗 第08话 我，真是个笨蛋 第09话 这样成绩，教授绝不会让我过的 第10话 再也不依靠考古题 第11话 最後留下的补考 第12话 我最爱的学分 --

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